Problème — Quelle taille donner à une réserve naturelle ?

• $S(1)=12$ ;  $S(10)=12+8\ln 10\approx 30,4$ ;  $S(50)\approx 43,3$ ;  $S(100)\approx 48,8$. Soit $12$, $30$, $43$ et $48$ espèces.
• Résolution : $12+8\ln A=40⟺\ln A=3,5⟺A=e^{3,5}\approx 33,1$ km${}^2$. De même, $60$ espèces exigent $\ln A=6$, soit $A=e^6\approx 403$ km${}^2$. Vérification : les deux valeurs sont supérieures à $1$, donc dans le domaine de validité. Vingt espèces de plus coûtent douze fois plus de surface ($403/33,1\approx 12$) : le prix de la biodiversité est exponentiel.
• $12+8\ln A=5$ donne $\ln A=-0,875$, soit $A=e^{-0,875}\approx 0,42$ km${}^2$. Le calcul aboutit, mais $0,42<1$ : la valeur est hors du domaine de validité du modèle, et doit être rejetée. Le modèle ne dit rien des très petits territoires — un domaine mathématique n'est pas un domaine de validité.
• Résolution : pour tout $A\ge 1$,

$$S(2A)-S(A)=8\left(\ln (2A)-\ln A\right)=8\ln 2\approx 5,5,$$

d'après $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. Le gain ne dépend pas de $A$ : doubler la superficie ajoute toujours environ $5,5$ espèces, qu'on parte de $2$ km${}^2$ ou de $2000$.

• $S^{\prime }(A)=\frac{8}{A}>0$ : $S$ est strictement croissante, ce qui était attendu. Mais $S^{\prime }$ décroît vers $0$ : à $A=1$, un kilomètre carré de plus apporte environ $8$ espèces ; à $A=100$, il n'en apporte plus que $0,08$. Le gain marginal s'effondre.
• $\frac{S(A)}{A}=\frac{12}{A}+8\frac{\ln A}{A}$. Le premier terme tend vers $0$, le second aussi d'après la croissance comparée du cours (résultat admis). Par somme, $\frac{S(A)}{A}\to 0$. La densité d'espèces passe de $12$ par km${}^2$ à $0,49$ pour $A=100$ : une grande réserve abrite plus d'espèces, mais chacun de ses kilomètres carrés en abrite moins.
• Une réserve de $50$ km${}^2$ abrite $S(50)\approx 43$ espèces. Deux réserves de $25$ km${}^2$ en abritent $S(25)\approx 38$ chacune : si elles hébergent les mêmes espèces, le total reste $38$, et la grande réserve l'emporte. Si au contraire leurs peuplements sont disjoints, le total peut monter jusqu'à $76$. Le modèle logarithmique seul ne tranche donc pas le fameux débat des écologues entre « une grande » et « plusieurs petites » : il faut y ajouter le recouvrement des peuplements, que le modèle ignore.