Problème — Un médicament pris toutes les huit heures

La fonction logarithme népérien · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Un médicament pris toutes les huit heures.

Un médicament de demi-vie $6$ heures est administré par doses de $D = 500$ mg toutes les $8$ heures. On note $A_{n}$ la quantité présente dans l'organisme juste après la $n$ -ième prise, de sorte que $A_{1} = 500$ .

Montrer que la fraction restante au bout d'une heure est $q = 2^{- 1/6}$ , et donner $ln q$ .
Quelle fraction d'une dose unique reste-t-il au bout de $24$ heures ?
Au bout de combien de temps ne reste-t-il que $10 %$ d'une dose unique ?
Justifier que $A_{n + 1} = r A_{n} + D$ , où $r = q^{8}$ , et calculer $r$ .
On admet que $A_{n} = D \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$ . Déterminer la valeur limite (le « plateau »), puis le premier rang $n$ pour lequel $A_{n}$ atteint $95 %$ de ce plateau.
Interpréter.

Corrigé

Résolution : la quantité est multipliée par $q$ chaque heure, donc par $q^{6}$ en six heures, et cette durée est la demi-vie :

$q^{6} = \frac{1}{2} ⟺ 6 ln q = - ln 2 ⟺ ln q = - \frac{ln 2}{6} \approx - 0, 1155,$

d'où $q = e^{- l n 2/6} = 2^{- 1/6} \approx 0, 8909$ .

$q^{24} = (q^{6})^{4} = (\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16} = 6, 25 %$ : quatre demi-vies, et il ne reste qu'un seizième.
Résolution : $q^{t} = 0, 10$ donne

$t = \frac{ln 0 , 10}{ln q} \approx \frac{- 2 , 3026}{- 0 , 1155} \approx 19, 9 h,$

soit environ $19$ h $56$ min. (Le quotient est bien positif : les deux logarithmes sont négatifs.)

Entre deux prises, $8$ heures s'écoulent : il reste $q^{8} A_{n}$ du contenu précédent, auquel s'ajoute la nouvelle dose $D$ . D'où $A_{n + 1} = q^{8} A_{n} + D$ , une suite arithmético-géométrique, avec

$r = q^{8} = 2^{- 8/6} = 2^{- 4/3} \approx 0, 3969.$

Plateau : $0 < r < 1$ donc $r^{n} \to 0$ , et

$A_{n} ⟶ \frac{D}{1 - r} = \frac{500}{1 - 0 , 3969} \approx 829 mg .$

Résolution du seuil :

$A_{n} \geq 0, 95 \times \frac{D}{1 - r} ⟺ 1 - r^{n} \geq 0, 95 ⟺ r^{n} \leq 0, 05 ⟺ n ln r \leq ln 0, 05.$

On divise par $ln r \approx - 0, 924$ , négatif : l'inégalité se retourne,

$n \geq \frac{ln 0 , 05}{ln r} \approx \frac{- 2 , 996}{- 0 , 924} \approx 3, 24,$

donc $n = 4$ . Vérification : $r^{3} = 2^{- 4} = 0, 0625 > 0, 05$ et $r^{4} = 2^{- 16/3} \approx 0, 0248 \leq 0, 05$ ; autrement dit $A_{3} \approx 777$ mg, soit $93, 75 %$ du plateau, et $A_{4} \approx 808$ mg, soit $97, 5 %$ .

Il faut quatre prises, soit un peu plus de $24$ heures, pour que le traitement atteigne son régime de croisière. C'est la raison d'être de la dose de charge : une première prise plus forte permet d'atteindre tout de suite le plateau, au lieu d'attendre un jour entier.