Une incidence qui décroît

• Domaine d'étude : $\ln t$ exige $t>0$, donc $I$ est définie sur $\left]0;+\infty \right[$. Mais le modèle, lui, n'est proposé que sur $[1;60]$ : toute réponse hors de cet intervalle devra être rejetée, même si le calcul, lui, aboutit. La distinction est essentielle en modélisation.
• $I(10)=50-8\ln 10\approx 50-18,42\approx 31,6$, soit environ $32$ cas pour $100000$ habitants.
• Résolution :

$$50-8\ln t\le 20⟺-8\ln t\le -30.$$

On divise par $-8$, qui est négatif : l'inégalité change de sens, et $\ln t\ge \frac{30}{8}=3,75$. Par stricte croissance de $\ln$ (ou en passant à l'exponentielle, elle aussi strictement croissante) :

$$t\ge e^{3,75}\approx 42,52.$$

Le premier jour entier est donc le $43^{\text{e}}$. Vérification : $I(42)\approx 20,10>20$ et $I(43)\approx 19,91\le 20$ ; de plus $43\le 60$, la réponse est dans le domaine de validité.

• $I(t)=0$ donnerait $\ln t=6,25$, soit $t\approx 518$ jours — bien au-delà du domaine de validité, et le modèle prédirait ensuite une incidence négative. Un modèle logarithmique décroît indéfiniment sans jamais rien dire de fiable sur le long terme : il décrit la retombée, pas l'extinction.