Une incidence qui décroît — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 3)

Une incidence qui décroît

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

Une incidence qui décroît.

Après le pic d'une épidémie, l'incidence $I (t)$ — nombre de nouveaux cas hebdomadaires pour $100000$ habitants — est modélisée par

$I (t) = 50 - 8 ln t,$

où $t$ est le nombre de jours écoulés depuis le pic. Le modèle est déclaré valable pour $1 \leq t \leq 60$ .

Quel est le domaine de définition mathématique de $I$ ? Le confondre avec le domaine de validité du modèle serait-il grave ?
Calculer $I (10)$ .
À partir de quel jour l'incidence est-elle inférieure ou égale à $20$ ?
Le modèle prévoit-il l'extinction de l'épidémie ?

Corrigé

Domaine d'étude : $ln t$ exige $t > 0$ , donc $I$ est définie sur $] 0; + \infty [$ . Mais le modèle, lui, n'est proposé que sur $[1; 60]$ : toute réponse hors de cet intervalle devra être rejetée, même si le calcul, lui, aboutit. La distinction est essentielle en modélisation.
$I (10) = 50 - 8 ln 10 \approx 50 - 18, 42 \approx 31, 6$ , soit environ $32$ cas pour $100000$ habitants.
Résolution :

$50 - 8 ln t \leq 20 ⟺ - 8 ln t \leq - 30.$

On divise par $- 8$ , qui est négatif : l'inégalité change de sens, et $ln t \geq \frac{30}{8} = 3, 75$ . Par stricte croissance de $ln$ (ou en passant à l'exponentielle, elle aussi strictement croissante) :

$t \geq e^{3, 75} \approx 42, 52.$

Le premier jour entier est donc le $4 3^{e}$ . Vérification : $I (42) \approx 20, 10 > 20$ et $I (43) \approx 19, 91 \leq 20$ ; de plus $43 \leq 60$ , la réponse est dans le domaine de validité.

$I (t) = 0$ donnerait $ln t = 6, 25$ , soit $t \approx 518$ jours — bien au-delà du domaine de validité, et le modèle prédirait ensuite une incidence négative. Un modèle logarithmique décroît indéfiniment sans jamais rien dire de fiable sur le long terme : il décrit la retombée, pas l'extinction.