Encadrer une solution par balayage

• Sens de variation : chaque terme est de la forme $e^u$,

$$C^{\prime }(t)=10\times (-0,3)e^{-0,3t}+2\times (-0,05)e^{-0,05t}=-3e^{-0,3t}-0,1e^{-0,05t}.$$

C'est une somme de deux termes strictement négatifs : $C^{\prime }(t)<0$ pour tout $t\ge 0$, donc $C$ est strictement décroissante.

• Existence et unicité : $C(0)=12$, et quand $t$ devient grand les deux exponentielles s'écrasent vers $0$, donc $C(t)$ aussi. La valeur $3$ est comprise entre ces deux extrémités, et $C$ est continue et strictement monotone : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (admis), l'équation $C(t)=3$ a exactement une solution.
• Balayage : la fonction étant décroissante, on avance tant que l'on est encore au-dessus du niveau visé.

from math import exp

def balayage_decroissant(f, k, debut, pas):
    # f continue strictement decroissante, avec f(debut) > k.
    # Renvoie un encadrement (x - pas, x) de la solution de f(x) = k.
    x = debut
    while f(x) > k:
        x = x + pas
    return (x - pas, x)

C = lambda t: 10 * exp(-0.3 * t) + 2 * exp(-0.05 * t)

print(balayage_decroissant(C, 3, 0, 0.5))                        # (6.0, 6.5)
print([round(v, 2) for v in balayage_decroissant(C, 3, 6, 0.1)]) # [6.2, 6.3]

La concentration passe sous $3$ mg/L entre $6,2$ h et $6,3$ h après l'injection. On vérifie à la main : $C(6,2)\approx 3,02$ et $C(6,3)\approx 2,97$.