Résoudre $f (x) \leq k$

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 — Compléments sur la dérivation

Énoncé

Résoudre $f (x) \leq k$ .

Le coût d'un écart de pH à sa valeur cible, dans un procédé de fermentation, est modélisé par

$f (x) = ln (x^{2} - 4 x + 5),$

où $x$ est le pH mesuré.

Montrer que $f$ est définie sur $R$ tout entier.
Calculer $f^{'} (x)$ , en déduire le tableau de variation et le minimum.
Le procédé reste acceptable tant que $f (x) \leq ln 2$ . Déterminer l'intervalle de pH admissible.

$x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0.$

La quantité sous le logarithme est strictement positive pour tout réel $x$ : $f$ est définie — et dérivable — sur $R$ .

Dérivée : $f$ est de la forme $ln u$ avec $u (x) = (x - 2)^{2} + 1$ et $u^{'} (x) = 2 x - 4$ , d'où

$f^{'} (x) = \frac{2 x - 4}{( x - 2 ) ^{2} + 1} .$

Le dénominateur est strictement positif : $f^{'}$ est du signe de $2 x - 4$ , donc de $x - 2$ .

$x f^{'} (x) f - \infty - ↘ 200 + ↗ + \infty$

Le minimum vaut $f (2) = ln 1 = 0$ , atteint pour $x = 2$ .

Inéquation : les deux membres sont des logarithmes de nombres strictement positifs et $ln$ est strictement croissante, donc

$ln (x^{2} - 4 x + 5) \leq ln 2 ⟺ x^{2} - 4 x + 5 \leq 2 ⟺ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0 ⟺ (x - 1) (x - 3) \leq 0.$

Ce produit est négatif ou nul exactement entre les racines.

Le pH admissible est $x \in [1; 3]$ , ce que le tableau confirme : $f (1) = f (3) = ln 2$ , et $f$ est en dessous entre les deux.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.