Signer une dérivée en factorisant

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 — Compléments sur la dérivation

Énoncé

Signer une dérivée en factorisant.

L'anomalie de température (l'écart, en $^{\circ}$ C, à la moyenne de référence) reconstituée à partir d'une carotte de sédiment est modélisée sur $[0; 10]$ par

$f (x) = (x^{2} - 3 x + 1) e^{- x},$

où $x$ est le temps écoulé, en milliers d'années.

Calculer $f^{'} (x)$ et la factoriser complètement.
En déduire le signe de $f^{'}$ , puis le tableau de variation de $f$ avec des valeurs exactes.
Où l'anomalie est-elle la plus forte ? la plus faible ?

Corrigé

Dérivée d'un produit : $f = u \times v$ avec $u (x) = x^{2} - 3 x + 1$ et $v (x) = e^{- x}$ , dont la dérivée est $v^{'} (x) = - e^{- x}$ . Donc

$f^{'} (x) = (2 x - 3) e^{- x} - (x^{2} - 3 x + 1) e^{- x} = e^{- x} (2 x - 3 - x^{2} + 3 x - 1) = e^{- x} (- x^{2} + 5 x - 4) .$

Le trinôme $- x^{2} + 5 x - 4$ a pour racines $1$ et $4$ , d'où

$f^{'} (x) = - (x - 1) (x - 4) e^{- x} .$

Signe : $e^{- x} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du signe de $- (x - 1) (x - 4)$ : négatif sur $[0; 1 [$ , positif sur $] 1; 4 [$ , négatif sur $] 4; 10]$ .

$x f^{'} (x) f 01 - ↘ 10 - \frac{1}{e} + ↗ 40 \frac{5}{e ^{4}} - ↘ 10 \frac{71}{e ^{10}}$

Extremums : le minimum vaut $- \frac{1}{e} \approx - 0, 37$ $^{\circ}$ C, atteint en $x = 1$ . Le maximum de $f$ sur $[0; 10]$ n'est pas le sommet local $\frac{5}{e ^{4}} \approx 0, 09$ obtenu en $x = 4$ : c'est la valeur au bord, $f (0) = 1$ $^{\circ}$ C.

Un tableau se lit jusqu'aux bords : un maximum local n'est pas automatiquement le maximum.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.