Une colonie bactérienne qui s'étale

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 — Compléments sur la dérivation

Énoncé

Une colonie bactérienne qui s'étale.

Sur une boîte de Petri, une colonie circulaire a pour rayon $r (t) = 1, 5 + 0, 4 t$ (en millimètres, $t$ en heures). Sa surface est donc $A (t) = π r (t)^{2}$ .

Calculer $A^{'} (t)$ sans développer $A (t)$ .
Comparer la vitesse d'agrandissement à $t = 0$ et à $t = 5$ . Le rayon croît à vitesse constante : pourquoi la surface, elle, ne croît-elle pas à vitesse constante ?

Corrigé

Dérivée d'un carré : $A = π u^{2}$ avec $u = r$ , donc $A^{'} = π \times 2 r^{'} r$ :

$A^{'} (t) = 2 π \times 0, 4 \times (1, 5 + 0, 4 t) = 0, 8 π (1, 5 + 0, 4 t) .$

Deux instants :

$A^{'} (0) = 0, 8 π \times 1, 5 = 1, 2 π \approx 3, 77 mm^{2} / h, A^{'} (5) = 0, 8 π \times 3, 5 = 2, 8 π \approx 8, 80 mm^{2} / h .$

La forme $A^{'} (t) = 2 π r (t) \times r^{'} (t)$ se lit toute seule : c'est le périmètre multiplié par la vitesse radiale. Le rayon avance toujours de $0, 4$ mm/h, mais il le fait sur un contour de plus en plus long — la surface gagnée par heure augmente donc.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.