Des vitesses aux grandeurs — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Des vitesses aux grandeurs

Primitives et équations différentielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Des vitesses aux grandeurs.

Dans chaque cas, une vitesse est mesurée ; déterminer la grandeur cumulée, c'est-à-dire une primitive.

Le débit d'une source : $f (t) = 6 - 0, 5 t$ (en m $^{3}$ /h), $t \in [0; 10]$ .
La vitesse de sédimentation d'un lac : $g (t) = \frac{3}{t}$ (en mm par an), pour $t \geq 1$ .
Le coût marginal d'un atelier : $c (q) = 3 q^{2} - 4 q + 20$ (en euros par unité), $q > 0$ .
La vitesse d'infiltration de l'eau dans un sol : $i (t) = \frac{2 , 5}{t}$ (en mm/min), $t > 0$ .

Corrigé

Un polynôme. Terme à terme, $6$ se primitive en $6 t$ et $- 0, 5 t$ en $- 0, 25 t^{2}$ :

$V (t) = 6 t - 0, 25 t^{2} + k .$

L'inverse. Sur $[1; + \infty [$ , la variable est strictement positive, donc $\frac{1}{t}$ a pour primitive $ln t$ et

$E (t) = 3 ln t + k .$

Coût total. On primitive terme à terme :

$C (q) = q^{3} - 2 q^{2} + 20 q + k,$

la constante $k$ étant ici le coût fixe de l'atelier — celui que l'on paie même sans rien produire.

La racine. Puisque $(2 t)^{'} = \frac{1}{t}$ ,

$I (t) = 2, 5 \times 2 t + k = 5 t + k .$

Dans les quatre cas, la constante $k$ n'est pas un détail : elle porte l'état initial — volume déjà présent, épaisseur déjà déposée, coût fixe, eau déjà infiltrée.