La méthode d'Euler, à la main puis en Python

• Récurrence. Avec $f(t,y)=-0,2y+4$ et $h=1$ :

$$y_{k+1}=y_k+1\times (-0,2y_k+4)=0,8y_k+4.$$

On reconnaît une suite arithmético-géométrique — celles du chapitre 1. Partant de $y_0=0$ :

$$y_1=4,y_2=7,2,y_3=9,76,y_4=11,808,y_5\approx 13,446.$$

• Comparaison. La valeur exacte est $C(5)=20\left(1-e^{-1}\right)\approx 12,642$ mg/L. Euler surestime de $0,80$ mg/L, soit environ $6\%$. Ce n'est pas un hasard : la courbe est creusée vers le bas, donc chaque tangente passe au-dessus d'elle.
• En Python.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
    return y

from math import exp

perfusion = lambda t, y: -0.2 * y + 4

for h in (1, 0.5, 0.1, 0.01):
    print(h, round(euler(perfusion, 0, 0, h, round(5 / h)), 4))
# 1    -> 13.4464
# 0.5  -> 13.0264
# 0.1  -> 12.7166
# 0.01 -> 12.6498

print(round(20 * (1 - exp(-1)), 4))   # exact : 12.6424

À chaque division du pas par $10$, l'écart est divisé par $10$ environ ($0,80$ ; $0,38$ ; $0,074$ ; $0,0074$). C'est le comportement caractéristique de la méthode d'Euler : elle est lente, mais elle converge, et surtout elle ne demande jamais de savoir résoudre.