La méthode d'Euler, à la main puis en Python — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

La méthode d'Euler, à la main puis en Python

Primitives et équations différentielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La méthode d'Euler, à la main puis en Python.

On reprend la perfusion continue étudiée plus haut : $y^{'} = - 0, 2 y + 4$ avec $y (0) = 0$ .

Écrire la relation de récurrence donnée par la méthode d'Euler de pas $h = 1$ , puis calculer $y_{1}, \dots, y_{5}$ à la main.
Comparer $y_{5}$ à la valeur exacte $C (5)$ .
Écrire en Python le calcul pour $h = 1$ ; $0, 5$ ; $0, 1$ et $0, 01$ , et commenter.

Corrigé

Récurrence. Avec $f (t, y) = - 0, 2 y + 4$ et $h = 1$ :

$y_{k + 1} = y_{k} + 1 \times (- 0, 2 y_{k} + 4) = 0, 8 y_{k} + 4.$

On reconnaît une suite arithmético-géométrique — celles du chapitre 1. Partant de $y_{0} = 0$ :

$y_{1} = 4, y_{2} = 7, 2, y_{3} = 9, 76, y_{4} = 11, 808, y_{5} \approx 13, 446.$

Comparaison. La valeur exacte est $C (5) = 20 (1 - e^{- 1}) \approx 12, 642$ mg/L. Euler surestime de $0, 80$ mg/L, soit environ $6 %$ . Ce n'est pas un hasard : la courbe est creusée vers le bas, donc chaque tangente passe au-dessus d'elle.
En Python.


def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
    return y

from math import exp

perfusion = lambda t, y: -0.2 * y + 4

for h in (1, 0.5, 0.1, 0.01):
    print(h, round(euler(perfusion, 0, 0, h, round(5 / h)), 4))
# 1    -> 13.4464
# 0.5  -> 13.0264
# 0.1  -> 12.7166
# 0.01 -> 12.6498

print(round(20 * (1 - exp(-1)), 4))   # exact : 12.6424

À chaque division du pas par $10$ , l'écart est divisé par $10$ environ ( $0, 80$ ; $0, 38$ ; $0, 074$ ; $0, 0074$ ). C'est le comportement caractéristique de la méthode d'Euler : elle est lente, mais elle converge, et surtout elle ne demande jamais de savoir résoudre.