Problème — L'heure du décès — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Problème — L'heure du décès

Primitives et équations différentielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — L'heure du décès.

Un corps est découvert à $22$ h dans une pièce maintenue à $18^{\circ}$ C. Le médecin légiste relève $30^{\circ}$ C à $22$ h, puis $28^{\circ}$ C à $23$ h. On admet la loi de Newton :

$T^{'} = - k (T - 18), t en heures compt e ˊ es a ˋ partir de 22 h.$

Écrire l'équation sous la forme $y^{'} = a y + b$ et donner sa solution constante. Que représente-t-elle ?
Résoudre l'équation avec $T (0) = 30$ .
Utiliser la seconde mesure pour déterminer $k$ .
En admettant qu'au moment du décès la température valait $37^{\circ}$ C, estimer l'heure de la mort.
La pièce était peut-être à $15^{\circ}$ C, et non $18$ . Refaire l'estimation et conclure sur la robustesse de la méthode.

Corrigé

Forme normalisée. En développant, $T^{'} = - k T + 18 k$ : on a $a = - k$ et $b = 18 k$ . La solution constante est

$- \frac{b}{a} = - \frac{18 k}{- k} = 18,$

c'est-à-dire la température de la pièce : un corps déjà à $18^{\circ}$ C ne refroidit plus. C'est le seul état d'équilibre du problème.

Résolution. La solution générale est $T (t) = C e^{- k t} + 18$ , et $T (0) = 30$ donne $C = 12$ :

$T (t) = 18 + 12 e^{- k t} .$

Détermination de $k$ . La mesure à $23$ h s'écrit $T (1) = 28$ :

$18 + 12 e^{- k} = 28 ⟺ e^{- k} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} ⟺ k = ln \frac{6}{5} = ln 1, 2 \approx 0, 182 par heure.$

Remonter le temps. L'instant du décès est le $t$ (négatif !) tel que $T (t) = 37$ :

$18 + 12 e^{- k t} = 37 ⟺ e^{- k t} = \frac{19}{12} ⟺ - k t = ln \frac{19}{12},$

donc

$t = - \frac{1}{k} ln \frac{19}{12} = - \frac{ln ( 19/12 )}{ln 1 , 2} \approx - 2, 52 heure.$

Le décès a donc eu lieu environ $2$ h $31$ min avant $22$ h, soit vers 19 h 30.

Sensibilité à la température de la pièce. Avec une pièce à $15^{\circ}$ C, on refait le même travail : $T (t) = 15 + 15 e^{- k t}$ , et $T (1) = 28$ donne $e^{- k} = \frac{13}{15}$ , soit $k = ln \frac{15}{13} \approx 0, 143$ . L'instant du décès vérifie alors $e^{- k t} = \frac{22}{15}$ , d'où

$t = - \frac{ln ( 22/15 )}{ln ( 15/13 )} \approx - 2, 68 heure,$

soit environ $2$ h $41$ min avant $22$ h : 19 h 19.

Une erreur de trois degrés sur la pièce ne déplace l'estimation que d'une dizaine de minutes : la méthode est robuste. Elle l'est parce que la même mesure sert deux fois — à calibrer $k$ et à remonter le temps — de sorte que les deux erreurs se compensent en partie.