Problème — Un plan d'épargne — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Problème — Un plan d'épargne.

Un épargnant place $10000$ euros sur un contrat rémunéré à $4 %$ par an, et y verse en outre $3000$ euros par an, de façon régulière. En modélisant ces versements comme un flux continu, le capital $y (t)$ , en euros, vérifie

$y^{'} = 0, 04 y + 3000, t en ann e ˊ es, y (0) = 10 000.$

Déterminer la solution constante. Elle est négative : comment l'interpréter ?
Résoudre l'équation.
Calculer le capital au bout de $20$ ans, et le comparer à la somme effectivement versée.
Au bout de combien d'années le capital atteint-il $200000$ euros ?
Un modèle discret — versement de $3000$ euros en fin d'année, intérêts de $4 %$ — donne $u_{n + 1} = 1, 04 u_{n} + 3000$ avec $u_{0} = 10000$ . Résoudre cette récurrence, calculer $u_{20}$ et comparer.

Solution constante. Ici $a = 0, 04$ et $b = 3000$ , donc

$- \frac{b}{a} = - \frac{3 000}{0 , 04} = - 75000 euros.$

Elle est négative, et cela se lit très bien : une dette de $75000$ euros resterait stable, parce que les $3000$ euros versés chaque année couvriraient exactement les $3000$ euros d'intérêts de cette dette. C'est le seul état qui ne bouge pas — mais, $a$ étant positif, il repousse : le moindre écart s'amplifie.

Résolution. La solution générale est $y (t) = C e^{0, 04 t} - 75000$ , et $y (0) = 10000$ donne $C = 85000$ :

$y (t) = 85000 e^{0, 04 t} - 75 000.$

Au bout de vingt ans.

$y (20) = 85000 e^{0, 8} - 75000 \approx 114171 euros.$

L'épargnant a versé $10000 + 20 \times 3000 = 70000$ euros : les intérêts ont apporté environ $44171$ euros, soit plus de $60 %$ de ce qu'il a versé.

Un objectif. On résout $85000 e^{0, 04 t} - 75000 = 200000$ , soit $e^{0, 04 t} = \frac{275 000}{85 000} = \frac{55}{17}$ , d'où

$t = \frac{1}{0 , 04} ln \frac{55}{17} \approx 29, 4 ans.$

Le modèle discret. La suite est arithmético-géométrique. On cherche d'abord la suite constante : $ℓ = 1, 04 ℓ + 3000$ donne $ℓ = - 75000$ — la même valeur que la solution constante continue. En posant $v_{n} = u_{n} + 75000$ , on obtient $v_{n + 1} = 1, 04 v_{n}$ avec $v_{0} = 85000$ , donc

$u_{n} = 85000 \times 1, 0 4^{n} - 75000 ⟹ u_{20} \approx 111245 euros.$

L'écart avec le modèle continu est de $2926$ euros, soit $2, 6 %$ : le modèle continu donne un peu plus, puisqu'il fait travailler chaque versement dès qu'il est fait au lieu d'attendre la fin de l'année.

Le parallèle est frappant : la même méthode en deux mondes. On cherche la solution constante, on s'y ramène par soustraction, et il ne reste qu'une exponentielle d'un côté, une suite géométrique de l'autre.

Problème — Un plan d'épargne

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