Problème — Un plan d'épargne

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 6 — Primitives et équations différentielles

Énoncé

Problème — Un plan d'épargne.

Un épargnant place $10000$ euros sur un contrat rémunéré à $4 %$ par an, et y verse en outre $3000$ euros par an, de façon régulière. En modélisant ces versements comme un flux continu, le capital $y (t)$ , en euros, vérifie

$y^{'} = 0, 04 y + 3000, t en ann e ˊ es, y (0) = 10 000.$

Déterminer la solution constante. Elle est négative : comment l'interpréter ?
Résoudre l'équation.
Calculer le capital au bout de $20$ ans, et le comparer à la somme effectivement versée.
Au bout de combien d'années le capital atteint-il $200000$ euros ?
Un modèle discret — versement de $3000$ euros en fin d'année, intérêts de $4 %$ — donne $u_{n + 1} = 1, 04 u_{n} + 3000$ avec $u_{0} = 10000$ . Résoudre cette récurrence, calculer $u_{20}$ et comparer.

Corrigé

Solution constante. Ici $a = 0, 04$ et $b = 3000$ , donc

$- \frac{b}{a} = - \frac{3 000}{0 , 04} = - 75000 euros.$

Elle est négative, et cela se lit très bien : une dette de $75000$ euros resterait stable, parce que les $3000$ euros versés chaque année couvriraient exactement les $3000$ euros d'intérêts de cette dette. C'est le seul état qui ne bouge pas — mais, $a$ étant positif, il repousse : le moindre écart s'amplifie.

Résolution. La solution générale est $y (t) = C e^{0, 04 t} - 75000$ , et $y (0) = 10000$ donne $C = 85000$ :

$y (t) = 85000 e^{0, 04 t} - 75 000.$

Au bout de vingt ans.

$y (20) = 85000 e^{0, 8} - 75000 \approx 114171 euros.$

L'épargnant a versé $10000 + 20 \times 3000 = 70000$ euros : les intérêts ont apporté environ $44171$ euros, soit plus de $60 %$ de ce qu'il a versé.

Un objectif. On résout $85000 e^{0, 04 t} - 75000 = 200000$ , soit $e^{0, 04 t} = \frac{275 000}{85 000} = \frac{55}{17}$ , d'où

$t = \frac{1}{0 , 04} ln \frac{55}{17} \approx 29, 4 ans.$

Le modèle discret. La suite est arithmético-géométrique. On cherche d'abord la suite constante : $ℓ = 1, 04 ℓ + 3000$ donne $ℓ = - 75000$ — la même valeur que la solution constante continue. En posant $v_{n} = u_{n} + 75000$ , on obtient $v_{n + 1} = 1, 04 v_{n}$ avec $v_{0} = 85000$ , donc

$u_{n} = 85000 \times 1, 0 4^{n} - 75000 ⟹ u_{20} \approx 111245 euros.$

L'écart avec le modèle continu est de $2926$ euros, soit $2, 6 %$ : le modèle continu donne un peu plus, puisqu'il fait travailler chaque versement dès qu'il est fait au lieu d'attendre la fin de l'année.

Le parallèle est frappant : la même méthode en deux mondes. On cherche la solution constante, on s'y ramène par soustraction, et il ne reste qu'une exponentielle d'un côté, une suite géométrique de l'autre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.