Problème — Une épidémie dans un lycée

• Le modèle exponentiel. $y^{\prime }=0,45y$ avec $y(0)=5$ donne $y(t)=5e^{0,45t}$, d'où

$$y(10)=5e^{4,5}\approx 450\text{et}y(20)=5e^9\approx 40515.$$

La seconde valeur est absurde : le lycée ne compte que $1200$ élèves. Le modèle dépasse d'ailleurs cet effectif dès $t=\frac{\ln 240}{0,45}\approx 12,2$ jours. Un modèle n'est valable que dans son domaine, et celui-ci cesse de l'être dès que la maladie n'est plus rare.

• Ce que corrige le facteur. Au jour $0$, $\frac{y}{1200}=\frac{5}{1200}$ est négligeable devant $1$ : le facteur correctif vaut $0,996$, et les deux modèles donnent la même vitesse initiale, environ $2,2$ élèves par jour. Mais le facteur $1-\frac{y}{1200}$ diminue à mesure que la maladie se répand, car il ne reste plus grand monde à contaminer ; il s'annule quand tout le monde est atteint. La croissance s'étouffe donc d'elle-même — ce que le premier modèle ignore.
• Euler.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    points = [(t, y)]
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(t, y)
        t = t + h
        points.append((t, y))
    return points

grippe = lambda t, y: 0.45 * y * (1 - y / 1200)

for h in (0.5, 0.25, 0.1, 0.01):
    points = euler(grippe, 0, 5, h, round(20 / h))
    print(h, round(points[round(10 / h)][1], 1), round(points[-1][1], 1))
# 0.5  -> 241.8   1157.2
# 0.25 -> 280.9   1161.8
# 0.1  -> 308.3   1164.1
# 0.01 -> 326.2   1165.5

Les valeurs se stabilisent lentement : au jour $10$, on retiendra environ $330$ malades — et surtout pas les $241$ du pas le plus grossier. Au jour $20$, tous les pas s'accordent sur $1165$ environ : le résultat est alors robuste.

• Contrôle par la formule. Posons $u(t)=1+239e^{-0,45t}$, de sorte que $y=\frac{1200}{u}$ et $u^{\prime }(t)=-107,55e^{-0,45t}$. Alors

$$y^{\prime }(t)=-\frac{1200u^{\prime }(t)}{u(t{)}^2}=\frac{129060e^{-0,45t}}{u(t{)}^2},$$

tandis que $1-\frac{y}{1200}=1-\frac{1}{u}=\frac{239e^{-0,45t}}{u}$, donc

$$0,45y\left(1-\frac{y}{1200}\right)=0,45\times \frac{1200}{u}\times \frac{239e^{-0,45t}}{u}=\frac{129060e^{-0,45t}}{u^2}.$$

C'est bien la même expression, et $y(0)=\frac{1200}{240}=5$. Cette formule donne $y(10)\approx 328,3$ et $y(20)\approx 1165,6$ : les valeurs d'Euler au pas $0,01$ en sont à moins de $1\%$.

• Le pic de nouveaux cas. Le nombre de nouveaux malades par jour est $y^{\prime }$, c'est-à-dire $0,45y\left(1-\frac{y}{1200}\right)$. Lue comme fonction de $y$, cette quantité est un trinôme de racines $0$ et $1200$ : il est maximal au milieu, pour $y=600$, soit la moitié des élèves. Cela se produit lorsque $239e^{-0,45t}=1$, c'est-à-dire

$$t=\frac{\ln 239}{0,45}\approx 12,2\text{ jours,}$$

et le pic vaut alors $0,45\times 600\times \frac{1}{2}=135$ nouveaux cas par jour.

• Conseil. Rien ne sert d'agir au jour $15$ : à cette date, la moitié du lycée est déjà touchée et l'épidémie s'éteindra d'elle-même faute de proies. Tout se joue avant le douzième jour, quand les effectifs paraissent encore dérisoires — c'est précisément là que la croissance est la plus proche de l'exponentielle, donc la plus trompeuse.