Calculer $\ln 2$ avec des rectangles

• Vérification. Sur $[1;2]$, la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est continue et $x>0$, donc $\ln$ en est une primitive :

$${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}=[\ln x{]}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

• Rectangles, $n=4$. La largeur est $h=0,25$ et les bords sont $1$ ; $1,25$ ; $1,5$ ; $1,75$ ; $2$. La fonction est décroissante, donc les rectangles de gauche sont au-dessus et ceux de droite en dessous :

$$S^{-}=0,25\left(\frac{1}{1,25}+\frac{1}{1,5}+\frac{1}{1,75}+\frac{1}{2}\right)\approx 0,6345,$$

$$S^{+}=0,25\left(1+\frac{1}{1,25}+\frac{1}{1,5}+\frac{1}{1,75}\right)\approx 0,7595.$$

Donc $0,6345\le \ln 2\le 0,7595$.

• Programme.

from math import log

def rectangles(f, a, b, n, cote):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        x = a + k * h if cote == "gauche" else a + (k + 1) * h
        s = s + f(x)
    return h * s

g = lambda x: 1 / x
for n in [4, 10, 100, 1000]:
    haut = rectangles(g, 1, 2, n, "gauche")   # g decroissante : gauche = au-dessus
    bas = rectangles(g, 1, 2, n, "droite")
    print(n, round(bas, 6), round(haut, 6))
print("ln 2 =", round(log(2), 6))

```text

4 0.634524 0.759524 10 0.668771 0.718771 100 0.690653 0.695653 1000 0.692897 0.693397 ln 2 = 0.693147 ```

• Amélioration gratuite. Il suffit de prendre le milieu de l'encadrement, ce qui revient à la méthode des trapèzes. Pour $n=100$ :

$$\frac{0,690653+0,695653}{2}=0,693153,$$

soit six décimales justes au lieu de deux, sans un seul calcul supplémentaire de $g$.

L'écart entre les deux sommes vaut ici exactement $h\left(g(1)-g(2)\right)=\frac{1}{2n}$ : on lit directement combien de tranches il faut pour une précision donnée.