Cinq intégrales à calculer — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 7)

Cinq intégrales à calculer

Intégration · niveau 1 (application)

Énoncé

Cinq intégrales à calculer.

Calculer, en justifiant à chaque fois la continuité sur l'intervalle :

$A = \int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x, B = \int_{1}^{e} \frac{d x}{x}, C = \int_{0}^{3} e^{- 0, 5 t} d t,$

$D = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x, E = \int_{- 1}^{1} (x^{3} + x) d x .$

Corrigé

$A$ , un polynôme. Continu sur $R$ .

$A = [x^{3} - 2 x^{2} + x]_{0}^{2} = (8 - 8 + 2) - (0) = 2.$

$B$ , la forme $\frac{1}{x}$ . Sur $[1; e]$ on a $x > 0$ , donc $ln$ est une primitive :

$B = [ln x]_{1}^{e} = 1 - 0 = 1.$

$C$ , une exponentielle composée. Une primitive de $e^{a t}$ est $\frac{1}{a} e^{a t}$ ; ici $a = - 0, 5$ :

$C = [- 2 e^{- 0, 5 t}]_{0}^{3} = - 2 e^{- 1, 5} + 2 = 2 (1 - e^{- 1, 5}) \approx 1, 554.$

$D$ , la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ . Avec $u (x) = x^{2} + 1$ , strictement positif sur $R$ , et $u^{'} (x) = 2 x$ :

$D = [ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = ln 2 - ln 1 = ln 2 \approx 0, 693.$

$E$ , un intégrande de signe variable. Le polynôme est continu sur $R$ :

$E = [\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{1} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = 0.$

Le cas $E$ mérite un mot : l'intégrale est nulle, mais l'aire ne l'est pas. La fonction est négative sur $[- 1; 0]$ et positive sur $[0; 1]$ , et les deux contributions se compensent exactement. L'aire géométrique, elle, vaut $2 \int_{0}^{1} (x^{3} + x) d x = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ .