Cinq intégrales à calculer

• $A$, un polynôme. Continu sur $\mathbb{R}$.

$$A=[x^3-2x^2+x{]}_0^2=(8-8+2)-(0)=2.$$

• $B$, la forme $\frac{1}{x}$. Sur $[1;e]$ on a $x>0$, donc $\ln$ est une primitive :

$$B=[\ln x{]}_1^e=1-0=1.$$

• $C$, une exponentielle composée. Une primitive de $e^{at}$ est $\frac{1}{a}{e}^{at}$ ; ici $a=-0,5$ :

$$C=[-2e^{-0,5t}{]}_0^3=-2e^{-1,5}+2=2\left(1-e^{-1,5}\right)\approx 1,554.$$

• $D$, la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$. Avec $u(x)=x^2+1$, strictement positif sur $\mathbb{R}$, et $u^{\prime }(x)=2x$ :

$$D=\left[\ln \right(x^2+1){]}_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0,693.$$

• $E$, un intégrande de signe variable. Le polynôme est continu sur $\mathbb{R}$ :

$$E={\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^1=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)=0.$$

Le cas $E$ mérite un mot : l'intégrale est nulle, mais l'aire ne l'est pas. La fonction est négative sur $[-1;0]$ et positive sur $[0;1]$, et les deux contributions se compensent exactement. L'aire géométrique, elle, vaut $2{\int }_0^1(x^3+x)\mathrm{d}x=2\times \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.