Dose cumulée de rayonnement

• Les vingt-quatre premières heures. Une primitive de $r$ est $R(t)=-16e^{-0,05t}$, car $-16\times (-0,05)=0,8$. Donc

$${\int }_0^{24}r(t)\mathrm{d}t=[-16e^{-0,05t}{]}_0^{24}=16\left(1-e^{-1,2}\right)\approx 11,18\text{ mGy.}$$

• Dose cumulée et plafond. Le même calcul donne, pour tout $T>0$,

$$\mathcal{D}(T)={\int }_0^{T}r(t)\mathrm{d}t=16\left(1-e^{-0,05T}\right).$$

Quand $T$ devient grand, $e^{-0,05T}$ s'écrase vers $0$ : la dose cumulée se stabilise vers $16$ mGy. Elle ne dépassera jamais cette valeur, quel que soit le temps d'implantation.

• Demi-dose. On résout $\mathcal{D}(T)=8$ :

$$16\left(1-e^{-0,05T}\right)=8⟺e^{-0,05T}=\frac{1}{2}⟺-0,05T=-\ln 2⟺T=20\ln 2\approx 13,86\text{ h.}$$

La moitié de la dose totale est donc délivrée en un peu moins de quatorze heures, et les $24$ premières heures en apportent déjà $11,18$ sur $16$, soit $70\%$. C'est ce genre de calcul qui fixe la durée d'implantation : au-delà d'un certain temps, on expose le patient sans lui apporter grand-chose.