Dose cumulée de rayonnement — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 7)

Dose cumulée de rayonnement

Intégration · niveau 1 (application)

Énoncé

Dose cumulée de rayonnement.

Une source radioactive de courte période est implantée à titre thérapeutique. Le débit de dose qu'elle délivre, en mGy/h, est

$r (t) = 0, 8 e^{- 0, 05 t}, t \geq 0 en heures.$

Calculer la dose reçue pendant les $24$ premières heures.
Exprimer la dose reçue entre $0$ et $T$ , puis dire vers quelle valeur elle se stabilise quand $T$ devient grand.
Au bout de combien de temps la moitié de cette dose totale est-elle délivrée ?

Corrigé

Les vingt-quatre premières heures. Une primitive de $r$ est $R (t) = - 16 e^{- 0, 05 t}$ , car $- 16 \times (- 0, 05) = 0, 8$ . Donc

$\int_{0}^{24} r (t) d t = [- 16 e^{- 0, 05 t}]_{0}^{24} = 16 (1 - e^{- 1, 2}) \approx 11, 18 mGy.$

Dose cumulée et plafond. Le même calcul donne, pour tout $T > 0$ ,

$D (T) = \int_{0}^{T} r (t) d t = 16 (1 - e^{- 0, 05 T}) .$

Quand $T$ devient grand, $e^{- 0, 05 T}$ s'écrase vers $0$ : la dose cumulée se stabilise vers $16$ mGy. Elle ne dépassera jamais cette valeur, quel que soit le temps d'implantation.

Demi-dose. On résout $D (T) = 8$ :

$16 (1 - e^{- 0, 05 T}) = 8 ⟺ e^{- 0, 05 T} = \frac{1}{2} ⟺ - 0, 05 T = - ln 2 ⟺ T = 20 ln 2 \approx 13, 86 h.$

La moitié de la dose totale est donc délivrée en un peu moins de quatorze heures, et les $24$ premières heures en apportent déjà $11, 18$ sur $16$ , soit $70 %$ . C'est ce genre de calcul qui fixe la durée d'implantation : au-delà d'un certain temps, on expose le patient sans lui apporter grand-chose.