La biomasse d'une parcelle forestière

• Lecture directe par le théorème fondamental. $f$ est continue sur $[0;80]$, donc $F$ est dérivable et $F^{\prime }=f$. Or $f(t)\ge 0$ sur $[0;80]$ : $F$ est croissante — la biomasse ne peut que s'accumuler. Ensuite $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, avec

$$f(t)=\frac{80t-t^2}{320}⟹f^{\prime }(t)=\frac{80-2t}{320},$$

positive pour $t<40$, négative après : $F$ est convexe sur $[0;40]$, concave sur $[40;80]$, et présente un point d'inflexion en $t=40$ (chapitre 5). C'est en $t=40$ que $F$ croît le plus vite, puisque $f$ y atteint son maximum $f(40)=\frac{40\times 40}{320}=5$ t/ha/an.

• Calcul. Une primitive de $f$ s'obtient terme à terme :

$$F(x)=\frac{1}{320}\left(40x^2-\frac{x^3}{3}\right),$$

et $F(0)=0$, donc c'est bien la bonne. On obtient

$$F(20)=\frac{125}{3}\approx 41,7,F(40)=\frac{400}{3}\approx 133,3,F(80)=\frac{800}{3}\approx 266,7\text{ t/ha.}$$

• Moitié de la biomasse. La moitié de $F(80)$ est $\frac{400}{3}$, c'est-à-dire exactement $F(40)$ : la moitié de la biomasse finale est atteinte à $40$ ans.

Ce n'est pas une coïncidence : $f$ est symétrique par rapport à $t=40$, donc les deux moitiés de l'aire sont égales. On retiendra surtout la première question : on peut décrire entièrement les variations et la convexité de $F$ sans jamais calculer $F$ — il suffit de regarder le signe de $f$ et le sens de variation de $f$.