Problème — Le radon dans une cave

• Variations et convexité de $F$, sans calcul. La fonction $f$ est continue sur $[0;24]$, donc, d'après le théorème fondamental (admis), $F$ est dérivable et $F^{\prime }=f$. Or $f(t)\ge 0,2>0$ : $F$ est strictement croissante — une dose ne peut que s'accumuler. Ensuite $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ et

$$f^{\prime }(t)=0,6\times (-0,1)e^{-0,1t}=-0,06e^{-0,1t}<0,$$

donc $F$ est concave. Concrètement : la dose continue de monter, mais de moins en moins vite, parce que la ventilation fait baisser le débit de dose. Une heure passée en fin de journée est moins « coûteuse » qu'une heure passée le matin.

• Calcul et dose journalière. Une primitive de $e^{-0,1t}$ est $-10e^{-0,1t}$, donc

$$F(x)=[0,2t-6e^{-0,1t}{]}_0^x=0,2x+6\left(1-e^{-0,1x}\right).$$

On vérifie $F(0)=0$ et $F^{\prime }=0,2+0,6e^{-0,1x}=f$. Pour vingt-quatre heures :

$$F(24)=4,8+6\left(1-e^{-2,4}\right)\approx 10,26\mu \text{Sv.}$$

On contrôle avec l'encadrement par les bornes : $f$ décroît de $0,8$ à $f(24)\approx 0,254$, donc $24\times 0,254\le F(24)\le 24\times 0,8$, c'est-à-dire $6,1\le 10,26\le 19,2$.

• Seuil de $5$ $\mu$Sv. $F$ est continue et strictement croissante de $0$ à $10,26$ ; comme $5$ est compris entre ces deux valeurs, le théorème des valeurs intermédiaires (admis) garantit une solution et une seule. Le balayage au pas $0,1$ donne

$$F(8,2)\approx 4,997<5\text{et}F(8,3)\approx 5,044\ge 5,$$

donc la dose de $5$ $\mu$Sv est atteinte entre $8,2$ h et $8,3$ h après le début, soit vers $14$ h 15.

• Dose annuelle. Deux heures par jour à partir de $6$ h :

$$F(2)=0,4+6\left(1-e^{-0,2}\right)\approx 1,488\mu \text{Sv par jour,}$$

d'où, sur une année,

$$365\times 1,488\approx 543\mu \text{Sv.}$$

C'est un peu plus de la moitié du repère de $1000$ $\mu$Sv par an.

• Les trois méthodes.

from math import exp
from random import random, seed

f = lambda t: 0.2 + 0.6 * exp(-0.1 * t)
exact = 0.2 * 24 + 6 * (1 - exp(-2.4))

def rectangles(f, a, b, n, cote):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        x = a + k * h if cote == "gauche" else a + (k + 1) * h
        s = s + f(x)
    return h * s

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for k in range(1, n):
        s = s + f(a + k * h)
    return h * s

def monte_carlo(f, a, b, hmax, n):
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x = a + (b - a) * random()
        y = hmax * random()
        if y <= f(x):
            dedans = dedans + 1
    return (b - a) * hmax * dedans / n

print("exact                  ", round(exact, 4))
for n in [6, 24, 240]:
    print("n =", n,
          "| gauche", round(rectangles(f, 0, 24, n, "gauche"), 4),
          "| droite", round(rectangles(f, 0, 24, n, "droite"), 4),
          "| trapezes", round(trapezes(f, 0, 24, n), 4))
seed(2026)
print("Monte-Carlo n = 10^6   ", round(monte_carlo(f, 0, 24, 0.8, 1000000), 4))

```text

exact 10.2557 n = 6 | gauche 11.4194 | droite 9.2371 | trapezes 10.3282 n = 24 | gauche 10.533 | droite 9.9875 | trapezes 10.2602 n = 240 | gauche 10.283 | droite 10.2285 | trapezes 10.2557 Monte-Carlo n = 10^6 10.2643

    La fonction étant décroissante, les rectangles de droite sont sous la courbe et
    ceux de gauche au-dessus : l'encadrement est valable à chaque ligne, et l'on
    vérifie qu'il contient bien $10,2557$. Les trapèzes donnent quatre décimales
    justes dès $n=240$, quand un million de tirages aléatoires n'en donne que
    deux.

Ce problème résume le chapitre : la dose cumulée est une *aire*, ses variations
et sa convexité se lisent sur $f$ sans aucun calcul grâce au théorème fondamental,
sa valeur exacte s'obtient par une *primitive*, et quand la primitive
manquerait, trois algorithmes prennent le relais. Aucun de ces quatre points de vue
ne remplace les autres.