Problème — Le volume d'une crue

• Volume et unités. Le débit est une quantité d'eau par unité de temps ; le volume écoulé est donc l'aire sous la courbe du débit. Attention aux unités : $Q$ est en m${}^3$/s et $t$ en heures. Pour que le produit donne des m${}^3$, il faut exprimer le pas en secondes :

$$h=3\text{ h}=3\times 3600=10800\text{ s.}$$

• Rectangles. Avec les huit premières valeurs, puis les huit dernières :

$$V_{\text{g}}=10800\times (45+80+210+340+300+195+120+80)=10800\times 1370=14,796\times 10^6{\text{m}}^3,$$

$$V_{\text{d}}=10800\times (80+210+340+300+195+120+80+60)=10800\times 1385=14,958\times 10^6{\text{m}}^3.$$

Ces deux nombres n'encadrent pas $V$ : le débit monte puis descend, il n'est pas monotone. Ce sont deux approximations, très voisines, mais sans garantie d'encadrement.

• Trapèzes. On compte les valeurs extrêmes pour moitié :

$$V_{\text{t}}=10800\times \left(\frac{45}{2}+80+210+340+300+195+120+80+\frac{60}{2}\right)=10800\times 1377,5,$$

soit $V_{\text{t}}=14,877\times 10^6$ m${}^3$. C'est bien $\frac{14,796+14,958}{2}=14,877$. La raison est algébrique : dans la somme de gauche apparaissent $Q_0,\dots ,Q_7$, dans celle de droite $Q_1,\dots ,Q_8$ ; leur demi-somme contient donc chaque valeur intérieure une fois entière et les deux valeurs extrêmes une demi-fois. C'est exactement la formule des trapèzes.

• Débit moyen. La journée dure $86400$ s :

$$\mu =\frac{1}{86400}{\int }_0^{24}Q(t)\mathrm{d}t\approx \frac{14877000}{86400}\approx 172,2{\text{ m}}^3\text{/s.}$$

On contrôle : $45\le 172,2\le 340$.

• Programme.

Q = [45, 80, 210, 340, 300, 195, 120, 80, 60]   # debits en m^3/s
h = 3 * 3600                                     # pas de 3 h, converti en secondes

gauche = h * sum(Q[:-1])
droite = h * sum(Q[1:])
trap = h * (Q[0] / 2 + sum(Q[1:-1]) + Q[-1] / 2)

print("rectangles a gauche :", gauche, "m3")
print("rectangles a droite :", droite, "m3")
print("trapezes            :", trap, "m3")
print("debit moyen         :", round(trap / 86400, 2), "m3/s")

```text

rectangles a gauche : 14796000 m3 rectangles a droite : 14958000 m3 trapezes : 14877000.0 m3 debit moyen : 172.19 m3/s ```

• Le barrage. La crue a apporté environ $14,9$ millions de mètres cubes, soit $74\%$ de la réserve disponible.

La réponse est donc « oui, mais tout juste » : le barrage encaisse cette journée, mais il n'en encaisserait pas deux. Et il faut se souvenir de ce que vaut le calcul : huit mesures espacées de trois heures ne voient pas les variations rapides. Un pic bref entre deux relevés est invisible pour les trapèzes — l'incertitude vient ici du protocole de mesure, pas de la méthode numérique.