Problème — Le volume d'une crue — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 7)

Problème — Le volume d'une crue.

Une station hydrométrique mesure le débit $Q$ d'une rivière toutes les trois heures pendant une journée de crue. Les valeurs relevées, en m $^{3}$ /s, sont :

$t$ (h)	$0$	$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$	$24$
$Q$ (m $^{3}$ /s)	$45$	$80$	$210$	$340$	$300$	$195$	$120$	$80$	$60$

Justifier que le volume écoulé pendant la journée est $V = \int_{0}^{24} Q (t) d t$ , et préciser les unités.
Estimer $V$ par les rectangles à gauche puis à droite. Ces deux valeurs encadrent-elles $V$ ?
Estimer $V$ par les trapèzes. Vérifier que le résultat est la moyenne des deux estimations précédentes, et expliquer pourquoi.
Calculer le débit moyen de la journée.
Écrire le programme Python correspondant.
Le barrage situé en aval dispose d'une réserve de $20$ millions de mètres cubes. Peut-il absorber la crue ?

Volume et unités. Le débit est une quantité d'eau par unité de temps ; le volume écoulé est donc l'aire sous la courbe du débit. Attention aux unités : $Q$ est en m $^{3}$ /s et $t$ en heures. Pour que le produit donne des m $^{3}$ , il faut exprimer le pas en secondes :

$h = 3 h = 3 \times 3600 = 10800 s.$

Rectangles. Avec les huit premières valeurs, puis les huit dernières :

$V_{g} = 10800 \times (45 + 80 + 210 + 340 + 300 + 195 + 120 + 80) = 10800 \times 1370 = 14, 796 \times 1 0^{6} m^{3},$

$V_{d} = 10800 \times (80 + 210 + 340 + 300 + 195 + 120 + 80 + 60) = 10800 \times 1385 = 14, 958 \times 1 0^{6} m^{3} .$

Ces deux nombres n'encadrent pas $V$ : le débit monte puis descend, il n'est pas monotone. Ce sont deux approximations, très voisines, mais sans garantie d'encadrement.

Trapèzes. On compte les valeurs extrêmes pour moitié :

$V_{t} = 10800 \times (\frac{45}{2} + 80 + 210 + 340 + 300 + 195 + 120 + 80 + \frac{60}{2}) = 10800 \times 1377, 5,$

soit $V_{t} = 14, 877 \times 1 0^{6}$ m $^{3}$ . C'est bien $\frac{14 , 796 + 14 , 958}{2} = 14, 877$ . La raison est algébrique : dans la somme de gauche apparaissent $Q_{0}, \dots, Q_{7}$ , dans celle de droite $Q_{1}, \dots, Q_{8}$ ; leur demi-somme contient donc chaque valeur intérieure une fois entière et les deux valeurs extrêmes une demi-fois. C'est exactement la formule des trapèzes.

Débit moyen. La journée dure $86400$ s :

$μ = \frac{1}{86 400} \int_{0}^{24} Q (t) d t \approx \frac{14 877 000}{86 400} \approx 172, 2 m^{3} /s.$

On contrôle : $45 \leq 172, 2 \leq 340$ .

Programme.


Q = [45, 80, 210, 340, 300, 195, 120, 80, 60]   # debits en m^3/s
h = 3 * 3600                                     # pas de 3 h, converti en secondes

gauche = h * sum(Q[:-1])
droite = h * sum(Q[1:])
trap = h * (Q[0] / 2 + sum(Q[1:-1]) + Q[-1] / 2)

print("rectangles a gauche :", gauche, "m3")
print("rectangles a droite :", droite, "m3")
print("trapezes            :", trap, "m3")
print("debit moyen         :", round(trap / 86400, 2), "m3/s")

```text

rectangles a gauche : 14796000 m3 rectangles a droite : 14958000 m3 trapezes : 14877000.0 m3 debit moyen : 172.19 m3/s ```

Le barrage. La crue a apporté environ $14, 9$ millions de mètres cubes, soit $74 %$ de la réserve disponible.

La réponse est donc « oui, mais tout juste » : le barrage encaisse cette journée, mais il n'en encaisserait pas deux. Et il faut se souvenir de ce que vaut le calcul : huit mesures espacées de trois heures ne voient pas les variations rapides. Un pic bref entre deux relevés est invisible pour les trapèzes — l'incertitude vient ici du protocole de mesure, pas de la méthode numérique.

Problème — Le volume d'une crue

Énoncé

Corrigé