Problème — Mesurer une inégalité de revenus

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 7 — Intégration

Énoncé

Problème — Mesurer une inégalité de revenus.

On classe les habitants d'un pays du plus pauvre au plus riche. On note $L (x)$ la part du revenu total détenue par la proportion $x$ des habitants les plus pauvres : c'est la courbe de Lorenz. On étudie deux pays,

$L_{A} (x) = 0, 25 x + 0, 75 x^{2}, L_{B} (x) = 0, 1 x + 0, 9 x^{3}, 0 \leq x \leq 1.$

L'indice de Gini est le rapport de l'aire $A$ comprise entre la diagonale et la courbe de Lorenz à l'aire du triangle situé sous la diagonale.

Vérifier que $L_{A}$ et $L_{B}$ sont bien des courbes de Lorenz : elles passent par $(0; 0)$ et $(1; 1)$ , sont croissantes et convexes. Interpréter la convexité.
Montrer que l'indice de Gini vaut $G = 2 \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x$ .
Calculer $G_{A}$ et $G_{B}$ .
Comparer, dans les deux pays, la part du revenu détenue par les $50 %$ les plus pauvres et par les $10 %$ les plus riches.
Le pays $B$ met en place une redistribution qui remplace sa courbe par $L_{C} (x) = \frac{L _{B} ( x ) + x}{2}$ . Calculer $G_{C}$ et commenter.

Corrigé

Ce sont bien des courbes de Lorenz. On a $L_{A} (0) = L_{B} (0) = 0$ (les $0 %$ les plus pauvres détiennent $0 %$ du revenu) et $L_{A} (1) = 0, 25 + 0, 75 = 1$ , $L_{B} (1) = 0, 1 + 0, 9 = 1$ (tout le monde détient tout). Ensuite

$L_{A}^{'} (x) = 0, 25 + 1, 5 x > 0, L_{B}^{'} (x) = 0, 1 + 2, 7 x^{2} > 0,$

donc les deux sont croissantes, et

$L_{A}^{''} (x) = 1, 5 > 0, L_{B}^{''} (x) = 5, 4 x \geq 0,$

donc convexes (chapitre 5). La convexité dit que $L^{'}$ croît : plus on avance dans le classement, plus l'individu suivant apporte de revenu. C'est une autre façon d'énoncer que la population a été classée du plus pauvre au plus riche.

Formule de l'indice. Le triangle sous la diagonale, de sommets $(0; 0)$ , $(1; 0)$ et $(1; 1)$ , a pour aire $\frac{1}{2}$ . L'aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz vaut, la diagonale étant au-dessus,

$A = \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x .$

Donc $G = \frac{A}{1/2} = 2 \int_{0}^{1} (x - L (x)) d x$ .

Les deux indices. Pour le pays $A$ :

$G_{A} = 2 \int_{0}^{1} (0, 75 x - 0, 75 x^{2}) d x = 2 \times 0, 75 [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = 1, 5 \times \frac{1}{6} = 0, 25.$

Pour le pays $B$ :

$G_{B} = 2 \int_{0}^{1} (0, 9 x - 0, 9 x^{3}) d x = 1, 8 [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{1} = 1, 8 \times \frac{1}{4} = 0, 45.$

Deux lectures concrètes.

$L_{A} (0, 5) = 0, 125 + 0, 1875 = 0, 3125, L_{B} (0, 5) = 0, 05 + 0, 1125 = 0, 1625.$

Les $50 %$ les plus pauvres touchent $31, 25 %$ du revenu dans le pays $A$ , contre $16, 25 %$ dans le pays $B$ . Pour les $10 %$ les plus riches, on calcule $1 - L (0, 9)$ :

$1 - L_{A} (0, 9) = 1 - 0, 8325 = 0, 1675, 1 - L_{B} (0, 9) = 1 - 0, 7461 = 0, 2539.$

Soit $16, 75 %$ contre $25, 39 %$ .

Redistribution. Par linéarité de l'intégrale,

$G_{C} = 2 \int_{0}^{1} (x - \frac{L _{B} ( x ) + x}{2}) d x = 2 \int_{0}^{1} \frac{x - L _{B} ( x )}{2} d x = \int_{0}^{1} (x - L_{B} (x)) d x = \frac{G _{B}}{2} = 0, 225.$

Prendre la moyenne entre la courbe réelle et la droite d'égalité parfaite divise l'indice de Gini par deux, exactement — et fait passer le pays $B$ de $0, 45$ (très inégalitaire) à $0, 225$ , soit un peu mieux que le pays $A$ . Ce calcul, si simple, montre à quoi sert l'intégrale ici : transformer une courbe entière en un seul nombre comparable, et permettre de mesurer l'effet d'une politique publique.

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