Problème — Combien de moteurs pour un avion ?

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Problème — Combien de moteurs pour un avion ?

On modélise la fiabilité d'un moteur d'avion en supposant qu'au cours d'un vol donné il tombe en panne avec la probabilité $q = 0, 01$ , indépendamment des autres moteurs. Cette valeur est volontairement très pessimiste : elle rend les calculs lisibles.

Un bimoteur parvient à voler tant qu'il lui reste au moins un moteur ; un quadrimoteur tant qu'il lui en reste au moins deux.

Pour un quadrimoteur, donner la loi du nombre $N$ de moteurs tombant en panne pendant le vol, puis calculer $P (N = 0)$ et $P (N = 1)$ .
Calculer la probabilité d'accident d'un bimoteur.
Calculer la probabilité d'accident d'un quadrimoteur, et comparer.
Une compagnie effectue $200000$ vols en bimoteur. Quel est le nombre moyen d'accidents attendu ?
On suit un moteur donné, vol après vol, et l'on note $Z$ le rang du premier vol où il tombe en panne. Donner la loi de $Z$ , $E (Z)$ et $P (Z > 200)$ .
Le moteur a effectué $100$ vols sans panne. Quelle est la probabilité qu'il en effectue $200$ de plus sans panne ? Que penser du modèle ?

Corrigé

Le modèle. Chaque moteur donne une épreuve à deux issues (panne / pas de panne) de probabilité de succès $q = 0, 01$ , et les quatre moteurs sont indépendants : $N \sim B (4; 0, 01)$ . Donc

$P (N = 0) = 0, 9 9^{4} \approx 0, 9606, P (N = 1) = (1 4) \times 0, 01 \times 0, 9 9^{3} \approx 0, 0388.$

Bimoteur. L'accident survient si les deux moteurs tombent en panne :

$P (accident) = q^{2} = 0, 0001 = 1 0^{- 4} .$

Quadrimoteur. L'accident survient si au moins trois moteurs tombent en panne :

$P (N \geq 3) = (3 4) q^{3} (1 - q) + q^{4} = 4 \times 1 0^{- 6} \times 0, 99 + 1 0^{- 8} = 3, 96 \times 1 0^{- 6} + 1 0^{- 8} = 3, 97 \times 1 0^{- 6} .$

Le rapport vaut $\frac{1 0 ^{- 4}}{3 , 97 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 25$ : le quadrimoteur est environ vingt-cinq fois plus sûr.

À l'échelle d'une flotte. Le nombre d'accidents sur $200000$ vols suit $B (200000; 1 0^{- 4})$ , d'espérance

$200000 \times 1 0^{- 4} = 20 accidents.$

Une probabilité individuelle minuscule devient un nombre bien visible dès qu'on la répète : c'est le même effet que les faux positifs d'un dépistage de masse.

Attente de la première panne. On répète la même épreuve jusqu'au premier succès : $Z$ suit la loi géométrique de paramètre $0, 01$ , donc

$E (Z) = \frac{1}{0 , 01} = 100 vols, P (Z > 200) = 0, 9 9^{200} \approx 0, 134.$

Absence de mémoire, et sa limite. Par absence de mémoire,

$P_{(Z > 100)} (Z > 300) = P (Z > 200) = 0, 9 9^{200} \approx 0, 134 :$

les cent premiers vols n'ont rien changé. C'est bien ce qui rend le modèle suspect pour une pièce mécanique : un moteur s'use, et sa probabilité de panne au vol suivant augmente avec les heures accumulées. Le modèle géométrique convient aux défaillances accidentelles ; c'est justement parce qu'il ne convient pas à l'usure que les visites de maintenance sont programmées à intervalles fixes.

On retiendra la logique du calcul : la redondance ne supprime pas le risque, elle l'élève à une puissance. Passer de deux à quatre moteurs fait passer l'accident de « deux pannes simultanées » à « trois pannes simultanées », et chaque panne supplémentaire exigée divise le risque par un facteur de l'ordre de $1/ q$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.