Problème — Décider si un traitement est meilleur

• L'hypothèse de départ. Chaque patient donne une épreuve à deux issues, succès $=$ guérison, et les $20$ évolutions sont indépendantes : sous l'hypothèse $p=0,4$, on a $X\sim \mathcal{B}(20;0,4)$, donc

$$E(X)=20\times 0,4=8,\sigma (X)=\sqrt{20\times 0,4\times 0,6}=\sqrt{4,8}\approx 2,19.$$

• Le seuil. On veut $P(X\ge s)\le 0,05$ sous l'hypothèse $p=0,4$. Or $P(X\ge 12)\approx 0,0565>0,05$, tandis que $P(X\ge 13)\approx 0,0210\le 0,05$. Le plus petit seuil convenable est donc

$$s=13.$$

Avec cette règle, un traitement qui ne vaut pas mieux que l'ancien serait retenu à tort dans environ $2\%$ des essais seulement.

• Probabilité de détection. Si le traitement guérit réellement $65\%$ des patients, alors $X\sim \mathcal{B}(20;0,65)$, d'espérance $20\times 0,65=13$. La probabilité de conclure est

$$P(X\ge 13)\approx 0,601.$$

• Commentaire. Un traitement nettement meilleur — $65\%$ contre $40\%$ — ne serait détecté que dans $60\%$ des essais : deux fois sur cinq, il serait abandonné à tort. L'explication tient au fait que l'espérance sous la nouvelle hypothèse, $13$, coïncide exactement avec le seuil : une fois sur deux environ, le résultat tombe en dessous.
• Trois fois plus de patients. Sous $p=0,4$, $X\sim \mathcal{B}(60;0,4)$, d'espérance $24$ et d'écart type $\sqrt{60\times 0,4\times 0,6}=\sqrt{14,4}\approx 3,79$. Comme $P(X\ge 30)\approx 0,0746>0,05$ et $P(X\ge 31)\approx 0,0445\le 0,05$, le seuil devient $s=31$. Sous $p=0,65$, la probabilité de détection passe à

$$P(X\ge 31)\approx 0,988.$$

• Conclusion. En triplant l'effectif, on fait passer la chance de détecter un traitement réellement meilleur de $60\%$ à près de $99\%$, sans rien changer au risque de se tromper dans l'autre sens.

La raison en est dans les ordres de grandeur : l'écart entre les deux espérances croît comme $n$ — il passe de $13-8=5$ à $39-24=15$ —, tandis que l'écart type ne croît que comme $\sqrt{n}$, de $2,19$ à $3,79$. C'est tout le principe du dimensionnement d'un essai clinique.