Problème — Dépistage de masse et faux positifs

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Problème — Dépistage de masse et faux positifs.

Une maladie touche $1 %$ d'une population. On dispose d'un test dont la sensibilité est de $99 %$ — il est positif chez $99 %$ des malades — et la spécificité de $95 %$ — il est négatif chez $95 %$ des personnes saines. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

Construire le tableau des quatre cas possibles et calculer $P (T)$ .
Calculer $P_{T} (M)$ , appelée valeur prédictive positive du test. Montrer qu'elle vaut exactement $\frac{1}{6}$ .
Interpréter ce résultat pour une campagne de dépistage.
On dépiste $200$ personnes saines. Soit $Y$ le nombre de faux positifs. Donner la loi de $Y$ , son espérance, son écart type, puis $P (Y = 0)$ . On donne $P (Y \leq 14) \approx 0, 9219$ .
On propose aux personnes testées positives un second test, indépendant du premier et de mêmes caractéristiques. Calculer la valeur prédictive après deux tests positifs.
Que conclure sur l'organisation d'un dépistage ?

Corrigé

Les quatre cas. Parmi les $1 %$ de malades, $99 %$ ont un test positif ; parmi les $99 %$ de personnes saines, $5 %$ ont un test positif — ce sont les faux positifs. En probabilités :

$malade sain total test + 0, 0099 0, 0495 0, 0594 test - 0, 0001 0, 9405 0, 9406 total 0, 01 0, 99 1$

En effet $0, 01 \times 0, 99 = 0, 0099$ et $0, 99 \times 0, 05 = 0, 0495$ , d'où

$P (T) = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594.$

Valeur prédictive positive.

$P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6} \approx 0, 167.$

Interprétation. Sur six personnes dont le test est positif, une seule est réellement malade : cinq positifs sur six sont des faux positifs. Le test n'est pourtant pas mauvais — il ne se trompe que dans $5 %$ des cas chez les personnes saines. Mais les personnes saines sont $99$ fois plus nombreuses que les malades, et $5 %$ d'un très grand nombre l'emporte sur $99 %$ d'un petit nombre.
Les faux positifs, comptés. Chaque personne saine dépistée donne une épreuve à deux issues, succès $=$ test positif à tort, de probabilité $0, 05$ ; les $200$ dépistages sont indépendants. Donc $Y \sim B (200; 0, 05)$ et

$E (Y) = 200 \times 0, 05 = 10, σ (Y) = 200 \times 0, 05 \times 0, 95 = 9, 5 \approx 3, 08.$

De plus $P (Y = 0) = 0, 9 5^{200} \approx 3, 5 \times 1 0^{- 5}$ : il est pratiquement certain qu'il y aura au moins un faux positif. Enfin $P (Y \geq 15) = 1 - P (Y \leq 14) \approx 1 - 0, 9219 = 0, 0781$ .

Deux tests positifs. Les deux tests étant indépendants sachant l'état de santé, la probabilité de deux positifs vaut $0, 9 9^{2}$ chez un malade et $0, 0 5^{2}$ chez une personne saine :

$P (deux tests +) = 0, 01 \times 0, 9 9^{2} + 0, 99 \times 0, 0 5^{2} = 0, 009801 + 0, 002475 = 0, 012276,$

d'où la nouvelle valeur prédictive

$\frac{0 , 009801}{0 , 012276} \approx 0, 798.$

Conclusion. On passe de $17 %$ à $80 %$ de chances d'être réellement malade. C'est pourquoi un dépistage de masse n'est jamais un diagnostic : il sert à sélectionner une petite sous-population, sur laquelle un examen de confirmation devient rentable — et sur laquelle la prévalence n'est plus $1 %$ mais $17 %$ .

Le calcul de la question 2 explique un fait déroutant : la qualité d'un test ne suffit pas à juger de la fiabilité d'un résultat positif ; il faut y joindre la rareté de la maladie.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.