Problème — Quelle taille d'échantillon pour un sondage ?

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Problème — Quelle taille d'échantillon pour un sondage ?

Dans une population, une proportion $p = 0, 52$ des personnes soutient une mesure. Un institut interroge $n$ personnes tirées au hasard, la population étant assez grande pour que l'on assimile le tirage à un tirage avec remise. Soit $X$ le nombre de personnes favorables.

Pour $n = 100$ , donner la loi de $X$ , $E (X)$ et $σ (X)$ .
On donne $P (X \leq 41) \approx 0, 0177$ , $P (X \leq 42) \approx 0, 0286$ , $P (X \leq 61) \approx 0, 9719$ et $P (X \leq 62) \approx 0, 9827$ . Déterminer le plus petit intervalle $I$ tel que $P (X \in I) \geq 0, 95$ , et le traduire en fourchette de pourcentages.
Le programme de la page précédente donne $I = [188; 228]$ pour $n = 400$ , puis $I = [793; 871]$ pour $n = 1600$ . Traduire ces intervalles en pourcentages et comparer les demi-largeurs.
Quelle relation apparaît entre la taille de l'échantillon et la précision ?
Combien faudrait-il interroger de personnes pour annoncer un résultat à un point près ?
Un institut annonce « $52 %$ de soutien, sondage réalisé auprès de $100$ personnes ». Que faut-il en penser ?

Corrigé

Le modèle. $X \sim B (100; 0, 52)$ , donc

$E (X) = 100 \times 0, 52 = 52, σ (X) = 100 \times 0, 52 \times 0, 48 = 24, 96 \approx 5, 00.$

L'intervalle pour $n = 100$ . Le plus petit entier $a$ tel que $P (X \leq a) > 0, 025$ est $a = 42$ , car $P (X \leq 41) \approx 0, 0177$ ne dépasse pas $0, 025$ alors que $P (X \leq 42) \approx 0, 0286$ le dépasse. Le plus petit entier $b$ tel que $P (X \leq b) \geq 0, 975$ est $b = 62$ , car $P (X \leq 61) \approx 0, 9719 < 0, 975$ . Donc $I = [42; 62]$ et

$P (X \in I) = P (X \leq 62) - P (X \leq 41) \approx 0, 9827 - 0, 0177 = 0, 9650.$

En pourcentages, la fourchette est $[42 %; 62 %]$ : une demi-largeur de dix points.

Deux échantillons plus grands.

$n = 400 : [\frac{188}{400}; \frac{228}{400}] = [47 %; 57 %], demi-largeur 5 points;$

$n = 1600 : [\frac{793}{1 600}; \frac{871}{1 600}] \approx [49, 6 %; 54, 4 %], demi-largeur 2, 4 points.$

La relation. À chaque fois que $n$ est multiplié par $4$ , la demi-largeur est divisée par $2$ : $10$ , puis $5$ , puis $2, 4$ points. C'est la traduction directe de $σ = n p (1 - p)$ : l'écart type est multiplié par $2$ quand $n$ est multiplié par $4$ , mais la proportion $σ / n$ , elle, est divisée par $2$ . La précision progresse comme $n$ , pas comme $n$ .
Un point près. Il faut à nouveau diviser la demi-largeur par environ $2, 4$ , donc multiplier $n$ par environ $6$ : de l'ordre de $10000$ personnes. Le programme donne effectivement $I = [5102; 5298]$ pour $n = 10000$ , soit $[51, 0 %; 53, 0 %]$ — une demi-largeur d'un point.
Le jugement. Avec $100$ personnes, la fourchette va de $42 %$ à $62 %$ : elle contient aussi bien $45 %$ que $60 %$ . Annoncer $52 %$ sans marge d'erreur n'a donc aucun sens, et ce sondage est incapable de dire si la mesure est majoritaire.

C'est pourquoi les instituts publient une marge d'erreur, et pourquoi les sondages d'opinion sérieux portent sur au moins un millier de personnes : ce n'est pas la proportion de la population interrogée qui fait la précision, c'est le nombre absolu de personnes interrogées.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.