Problème — Transmission d'un caractère génétique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Problème — Transmission d'un caractère génétique.

Deux parents sont porteurs sains d'une mutation récessive. À chaque naissance, et indépendamment des naissances précédentes, l'enfant est atteint avec la probabilité $\frac{1}{4}$ .

Le couple a quatre enfants. Justifier que le nombre $X$ d'enfants atteints suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ et $P (X \geq 2)$ sous forme de fractions de dénominateur $256$ .
Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ .
Sachant qu'au moins un des quatre enfants est atteint, quelle est la probabilité qu'il n'y en ait exactement qu'un ?
On considère maintenant le rang $Y$ du premier enfant atteint, dans une fratrie que l'on suppose sans limite de taille. Donner la loi de $Y$ , puis $P (Y = 3)$ , $P (Y > 4)$ et $E (Y)$ .
Les trois premiers enfants sont sains. Les parents en concluent que « le quatrième a plus de risques d'être atteint ». Répondre.

Corrigé

Le modèle. Chaque naissance est une épreuve à deux issues (atteint / non atteint), de probabilité de succès $p = \frac{1}{4}$ ; il y a $n = 4$ naissances, indépendantes. Donc $X \sim B (4; \frac{1}{4})$ .
Trois probabilités. Avec $(\frac{3}{4})^{4} = \frac{81}{256}$ :

$P (X = 0) = \frac{81}{256} \approx 0, 316,$

$P (X = 1) = (1 4) \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{3} = 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{27}{64} = \frac{108}{256} \approx 0, 422,$

$P (X \geq 2) = 1 - \frac{81}{256} - \frac{108}{256} = \frac{67}{256} \approx 0, 262.$

Indicateurs.

$E (X) = 4 \times \frac{1}{4} = 1, σ (X) = 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 0, 75 \approx 0, 866.$

En moyenne un enfant atteint sur quatre — ce qui est la traduction directe du quart.

Conditionnement. $(X = 1)$ est inclus dans $(X \geq 1)$ , et $P (X \geq 1) = 1 - \frac{81}{256} = \frac{175}{256}$ , donc

$P_{(X \geq 1)} (X = 1) = \frac{108/256}{175/256} = \frac{108}{175} \approx 0, 617.$

Les dénominateurs $256$ se simplifient : c'est tout l'intérêt d'avoir gardé les fractions.

Le premier enfant atteint. On répète la même épreuve jusqu'au premier succès : $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{4}$ , avec $P (Y = k) = (\frac{3}{4})^{k - 1} \times \frac{1}{4}$ . Donc

$P (Y = 3) = (\frac{3}{4})^{2} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64} \approx 0, 141, P (Y > 4) = (\frac{3}{4})^{4} = \frac{81}{256} \approx 0, 316,$

et $E (Y) = \frac{1}{1/4} = 4$ .

La réponse. Non. Les naissances sont indépendantes : la probabilité que le quatrième enfant soit atteint reste $\frac{1}{4}$ , quel que soit le sort des trois premiers. C'est l'absence de mémoire, que l'on peut vérifier ici :

$P_{(Y > 3)} (Y > 4) = \frac{P ( Y > 4 )}{P ( Y > 3 )} = \frac{( 3/4 ) ^{4}}{( 3/4 ) ^{3}} = \frac{3}{4} = P (Y > 1) .$

La probabilité de ne pas être atteint vaut toujours $\frac{3}{4}$ au coup suivant. L'erreur des parents est une forme du raisonnement du joueur, qui croit qu'un « retard » doit se rattraper : le hasard, lui, ne tient pas de comptabilité.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.