Un composant qui ne vieillit pas

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Un composant qui ne vieillit pas.

Un composant électronique est sollicité cycle après cycle. À chaque cycle, il tombe en panne avec la probabilité $0, 04$ , indépendamment de ce qui a précédé. Soit $X$ le rang du cycle de la première panne.

Donner la loi de $X$ et calculer $E (X)$ .
Calculer $P (X > 25)$ .
Le composant a déjà effectué $15$ cycles sans panne. Calculer la probabilité qu'il en effectue au moins $25$ de plus sans panne.
Que penser de ce modèle pour une pièce mécanique ?

Corrigé

Le modèle. $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0, 04$ , donc $P (X = k) = 0, 9 6^{k - 1} \times 0, 04$ et

$E (X) = \frac{1}{0 , 04} = 25 cycles.$

Dépasser 25 cycles. $P (X > 25) = 0, 9 6^{25} \approx 0, 3604$ .
Une probabilité conditionnelle. L'événement demandé est $(X > 40)$ sachant $(X > 15)$ . L'absence de mémoire donne directement

$P_{(X > 15)} (X > 40) = P (X > 25) = 0, 9 6^{25} \approx 0, 3604.$

On peut le retrouver par le calcul :

$\frac{P ( X > 40 )}{P ( X > 15 )} = \frac{0 , 9 6 ^{40}}{0 , 9 6 ^{15}} = 0, 9 6^{25} .$

Critique du modèle. La réponse est la même qu'au départ : dans ce modèle, un composant usagé est aussi neuf qu'un composant neuf. C'est acceptable pour des pannes purement accidentelles, mais faux pour une pièce soumise à l'usure, dont le risque de défaillance croît avec l'âge.

L'absence de mémoire est donc à la fois la propriété la plus commode de la loi géométrique et le premier point à interroger avant de l'employer.

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