Un sondage et la règle des deux écarts types

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Un sondage et la règle des deux écarts types.

Dans une population, $42 %$ des personnes approuvent une mesure. On interroge $1000$ personnes au hasard, et $X$ est le nombre d'approbations.

Donner la loi de $X$ , puis $E (X)$ et $σ (X)$ .
Calculer les bornes de l'intervalle $[E (X) - 2 σ (X); E (X) + 2 σ (X)]$ , arrondies aux entiers intérieurs.
La calculatrice donne $P (389 \leq X \leq 451) \approx 0, 956$ . Commenter.
Traduire cet intervalle en pourcentages d'approbation.

Corrigé

Le modèle. $X \sim B (1000; 0, 42)$ , donc

$E (X) = 1000 \times 0, 42 = 420, σ (X) = 1000 \times 0, 42 \times 0, 58 = 243, 6 \approx 15, 61.$

Deux écarts types.

$E (X) - 2 σ (X) \approx 420 - 31, 22 = 388, 78, E (X) + 2 σ (X) \approx 451, 22,$

d'où l'intervalle d'entiers $[389; 451]$ .

Commentaire. La probabilité d'y tomber vaut environ $0, 956$ : la règle empirique « environ $95 %$ de la masse à moins de deux écarts types de la moyenne » se vérifie ici très bien. Elle donne, sans calcul de cumul, un ordre de grandeur immédiat de la fourchette attendue.
En proportions. On divise par $1000$ :

$\frac{389}{1 000} = 0, 389 et \frac{451}{1 000} = 0, 451.$

Un sondage sur mille personnes situe donc l'approbation entre $38, 9 %$ et $45, 1 %$ dans $95 %$ des cas : la « marge d'erreur » annoncée par les instituts est d'environ trois points, et non de quelques dixièmes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.