Une carotte de sédiment tirée au sort — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Une carotte de sédiment tirée au sort

Lois discrètes · niveau 1 (application)

Énoncé

Une carotte de sédiment tirée au sort.

Un laboratoire de géosciences dispose de $12$ carottes numérotées de $1$ à $12$ ; les numéros $9$ à $12$ proviennent de la couche profonde. On en tire une au hasard et on note $X$ son numéro.

Donner la loi de $X$ et calculer $E (X)$ .
Calculer $P (X \geq 9)$ .
L'opération est répétée $5$ fois, la carotte tirée étant chaque fois remise dans le lot. Soit $Y$ le nombre de tirages ayant donné une carotte profonde. Donner la loi de $Y$ , puis calculer $P (Y \geq 1)$ .

Corrigé

Loi uniforme. Le tirage est au hasard parmi $12$ carottes, donc $P (X = k) = \frac{1}{12}$ pour $k$ de $1$ à $12$ , et

$E (X) = \frac{12 + 1}{2} = 6, 5.$

Une probabilité par comptage. Les valeurs favorables sont $9$ , $10$ , $11$ , $12$ , soit quatre valeurs sur douze :

$P (X \geq 9) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .$

Schéma de Bernoulli. Chaque tirage est une épreuve à deux issues — carotte profonde (succès, probabilité $\frac{1}{3}$ ) ou non ; il y a $5$ tirages, et la remise garantit qu'ils sont identiques et indépendants. Donc $Y \sim B (5; \frac{1}{3})$ , et l'on passe par l'événement contraire :

$P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - (\frac{2}{3})^{5} = 1 - \frac{32}{243} = \frac{211}{243} \approx 0, 868.$

Cinq tirages suffisent donc à atteindre la couche profonde avec près de $87 %$ de chances, alors qu'un seul tirage n'y parvient qu'une fois sur trois.