Une probabilité conditionnelle sur une binomiale

Lois discrètes · niveau 2

Énoncé

Une probabilité conditionnelle sur une binomiale.

Dans un foyer de cinq personnes, chacune contracte la grippe au cours de l'hiver avec la probabilité $0, 4$ , indépendamment des autres. Soit $X$ le nombre de personnes atteintes.

Donner la loi de $X$ .
Calculer $P (X = 0)$ et $P (X = 1)$ .
Le médecin apprend qu'au moins une personne du foyer a été atteinte. Quelle est alors la probabilité qu'il n'y en ait eu qu'une ?
Comparer à $P (X = 1)$ et commenter.

Corrigé

Le modèle. Cinq épreuves indépendantes à deux issues, de même probabilité de succès $0, 4$ : $X \sim B (5; 0, 4)$ .
Deux valeurs.

$P (X = 0) = 0, 6^{5} = 0, 07776, P (X = 1) = (1 5) \times 0, 4 \times 0, 6^{4} = 5 \times 0, 4 \times 0, 1296 = 0, 2592.$

Conditionnement. L'événement $(X = 1)$ est inclus dans $(X \geq 1)$ , donc leur intersection est $(X = 1)$ , et

$P_{(X \geq 1)} (X = 1) = \frac{P ( X = 1 )}{P ( X \geq 1 )} = \frac{0 , 2592}{1 - 0 , 07776} = \frac{0 , 2592}{0 , 92224} \approx 0, 281.$

Comparaison. On passe de $0, 259$ à $0, 281$ : l'information « au moins une personne atteinte » a écarté le cas le plus probable a priori, qui était $X = 0$ ; toute la probabilité qu'il portait se redistribue sur les autres valeurs, dont $X = 1$ .

Conditionner, c'est retirer de l'univers ce que l'information exclut, puis renormaliser : la division par $P (X \geq 1)$ n'est rien d'autre que cette renormalisation.