De la répartition à la densité

• Trois contrôles. $F(0)=0$ et $F(10)=2-1=1$. Enfin

$$F^{\prime }(t)=\frac{1}{5}-\frac{t}{50}=\frac{10-t}{50}\ge 0\text{sur }[0;10],$$

donc $F$ est croissante de $0$ à $1$ : elle convient.

• Densité. La densité est la dérivée de la fonction de répartition :

$$f(t)=\frac{10-t}{50}.$$

Elle décroît de $f(0)=0,2$ à $f(10)=0$ : les pannes précoces sont les plus fréquentes, ce qui est le comportement classique d'un matériel mal rodé.

• Une probabilité.

$$P(2\le X\le 5)=F(5)-F(2)=(1-0,25)-(0,4-0,04)=0,75-0,36=0,39.$$

• Moyenne et médiane.

$$E(X)={\int }_0^{10}t\frac{10-t}{50}\mathrm{d}t=\frac{1}{50}{\left[5t^2-\frac{t^3}{3}\right]}_0^{10}=\frac{1}{50}\left(500-\frac{1000}{3}\right)=\frac{10}{3}\approx 3,33\text{ ans.}$$

La médiane $m$ vérifie $F(m)=0,5$, soit $20m-m^2=50$, c'est-à-dire $m^2-20m+50=0$. Le discriminant vaut $400-200=200$, donc $m=\frac{20\pm 10\sqrt{2}}{2}=10\pm 5\sqrt{2}$. Seule la racine $10-5\sqrt{2}\approx 2,93$ appartient à $[0;10]$.

La moitié des capteurs tombe en panne avant $2,93$ ans, alors que la durée de vie moyenne est de $3,33$ ans : là encore, la médiane est inférieure à la moyenne.