De la répartition à la densité — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

De la répartition à la densité

Lois à densité · niveau 2

Énoncé

De la répartition à la densité.

La durée de vie $X$ , en années, d'un capteur sismique enfoui a pour fonction de répartition

$F (t) = \frac{t}{5} - \frac{t ^{2}}{100} sur [0; 10] .$

Vérifier que $F$ peut être une fonction de répartition sur $[0; 10]$ .
En déduire la densité $f$ de $X$ . Que dit sa décroissance ?
Calculer $P (2 \leq X \leq 5)$ .
Calculer $E (X)$ , puis la médiane de $X$ .

Corrigé

Trois contrôles. $F (0) = 0$ et $F (10) = 2 - 1 = 1$ . Enfin

$F^{'} (t) = \frac{1}{5} - \frac{t}{50} = \frac{10 - t}{50} \geq 0 sur [0; 10],$

donc $F$ est croissante de $0$ à $1$ : elle convient.

Densité. La densité est la dérivée de la fonction de répartition :

$f (t) = \frac{10 - t}{50} .$

Elle décroît de $f (0) = 0, 2$ à $f (10) = 0$ : les pannes précoces sont les plus fréquentes, ce qui est le comportement classique d'un matériel mal rodé.

Une probabilité.

$P (2 \leq X \leq 5) = F (5) - F (2) = (1 - 0, 25) - (0, 4 - 0, 04) = 0, 75 - 0, 36 = 0, 39.$

Moyenne et médiane.

$E (X) = \int_{0}^{10} t \frac{10 - t}{50} d t = \frac{1}{50} [5 t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{10} = \frac{1}{50} (500 - \frac{1000}{3}) = \frac{10}{3} \approx 3, 33 ans.$

La médiane $m$ vérifie $F (m) = 0, 5$ , soit $20 m - m^{2} = 50$ , c'est-à-dire $m^{2} - 20 m + 50 = 0$ . Le discriminant vaut $400 - 200 = 200$ , donc $m = \frac{20 \pm 10 2}{2} = 10 \pm 52$ . Seule la racine $10 - 52 \approx 2, 93$ appartient à $[0; 10]$ .

La moitié des capteurs tombe en panne avant $2, 93$ ans, alors que la durée de vie moyenne est de $3, 33$ ans : là encore, la médiane est inférieure à la moyenne.