Iode 131 et demi-vie

• Le paramètre. La demi-vie vérifie $\frac{\ln 2}{\lambda }=8$, d'où

$$\lambda =\frac{\ln 2}{8}\approx 0,0866{\text{ j}}^{-1}.$$

• Trois demi-vies. $24=3\times 8$, donc

$$P(X>24)=e^{-24\lambda }=e^{-3\ln 2}={\left(e^{\ln 2}\right)}^{-3}=2^{-3}=\frac{1}{8}=0,125.$$

Chaque demi-vie divise la population par $2$ : après trois demi-vies il reste $\frac{1}{8}$ des noyaux. Aucun calcul n'était nécessaire.

• Vingt jours. $20=2,5\times 8$, donc

$$P(X>20)=2^{-2,5}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\approx 0,177.$$

Il reste environ $17,7\%$ de l'échantillon.

• Un pour cent. On cherche $t$ tel que $e^{-\lambda t}=0,01$, soit $\lambda t=\ln 100$ :

$$t=\frac{\ln 100}{\lambda }=\frac{8\ln 100}{\ln 2}\approx 53,2\text{ jours.}$$

Un traitement à l'iode $131$ impose donc un isolement de quelques jours, et une décroissance quasi complète en deux mois.