Le cinquième appel

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 9 — Lois à densité

Énoncé

Le cinquième appel.

Dans un standard, les délais entre deux appels successifs suivent une loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 5$ h $^{- 1}$ , indépendamment les uns des autres. On note $S$ le temps d'attente du cinquième appel, somme de cinq de ces délais.

Prévoir $E (S)$ sans simulation.
Simuler $100000$ valeurs de $S$ et estimer $E (S)$ , $P (S > 15)$ et $P (S > 20)$ .
Le standard ferme $20$ heures après l'ouverture. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas reçu cinq appels ?

Corrigé

Prévision. Chaque délai a pour espérance $\frac{1}{λ} = 2$ heures, et l'espérance d'une somme est la somme des espérances :

$E (S) = 5 \times 2 = 10 heures.$

Simulation. On réutilise expo et somme.


seed(9)
echantillon = [somme(lambda: expo(0.5), 5) for _ in range(N)]
print(round(sum(echantillon) / N, 3))             # 9.993
print(sum(1 for s in echantillon if s > 15) / N)  # 0.13159
print(sum(1 for s in echantillon if s > 20) / N)  # 0.02878

La moyenne simulée, $9, 993$ , confirme la prévision $E (S) = 10$ . On estime $P (S > 15) \approx 0, 132$ et $P (S > 20) \approx 0, 029$ .

Fermeture. Ne pas avoir reçu cinq appels en $20$ heures, c'est exactement l'événement ${S > 20}$ : sa probabilité est estimée à $0, 029$ , soit moins de trois jours sur cent.

Noter que $S$ ne suit pas une loi exponentielle : sa densité n'est pas décroissante, car obtenir une somme très petite exigerait que les cinq délais le soient.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.