Problème — La datation au carbone 14

• Paramètre et espérance. La demi-vie vaut $\frac{\ln 2}{\lambda }=5730$, donc

$$\lambda =\frac{\ln 2}{5730}\approx 1,210\times 10^{-4}{\text{ an}}^{-1},E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{5730}{\ln 2}\approx 8267\text{ ans.}$$

• Après dix mille ans. La proportion restante est $P(X>10000)$ :

$$e^{-1,210\times 10^{-4}\times 10000}=e^{-1,2097}\approx 0,298.$$

Il reste environ $29,8\%$ du carbone $14$ initial.

• Datation. On cherche $t$ tel que $e^{-\lambda t}=0,22$, donc

$$t=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{1}{0,22}=\frac{5730}{\ln 2}\times \ln \frac{1}{0,22}\approx 8267\times 1,514\approx 12517\text{ ans.}$$

Le fragment a environ $12500$ ans : il date de la fin du Paléolithique.

• Pourquoi la moyenne dépasse la médiane. La demi-vie est la médiane de $X$ : la moitié des noyaux meurent avant. Mais l'autre moitié se répartit sur une durée illimitée, certains noyaux subsistant des dizaines de milliers d'années. Ces survivants tirent la moyenne vers le haut sans changer la médiane, et le rapport est toujours le même : $m=\ln 2\times E(X)\approx 0,69E(X)$.
• Un noyau âgé. Non. Par absence de mémoire, sa durée de vie restante suit encore la même loi, d'espérance $8267$ ans : il est exactement aussi « jeune » qu'un noyau neuf. Un noyau ne s'use pas, il se désintègre par accident quantique — et c'est précisément parce que la physique le garantit que le modèle exponentiel est ici pleinement légitime, à la différence d'un organe ou d'une pièce mécanique.
• Portée de la méthode. On cherche $t$ tel que $e^{-\lambda t}=0,01$ :

$$t=\frac{\ln 100}{\lambda }=\frac{5730\ln 100}{\ln 2}\approx 8267\times 4,605\approx 38070\text{ ans.}$$

Au-delà de $50000$ ans, il ne resterait que $e^{-6,05}\approx 0,0024$, soit $0,24\%$ : indétectable.

La datation au carbone $14$ couvre donc environ les $40000$ dernières années. Au-delà, les géologues changent d'isotope — potassium-argon, uranium-plomb — dont les demi-vies se comptent en millions ou en milliards d'années, mais dont la loi est rigoureusement la même.