Problème — La garantie d'une ampoule LED

• Le modèle. La densité est $f(t)=2,5\times 10^{-5}{e}^{-2,5\times 10^{-5}t}$ sur $[0;+\infty [$, la fonction de répartition $F(t)=1-e^{-2,5\times 10^{-5}t}$, et

$$E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{2,5\times 10^{-5}}=40000\text{ heures.}$$

• Au-delà de cinquante mille heures.

$$P(X>50000)=e^{-2,5\times 10^{-5}\times 50000}=e^{-1,25}\approx 0,287.$$

Un peu moins de trois ampoules sur dix dépassent $50000$ heures.

• Médiane.

$$m=\frac{\ln 2}{\lambda }=40000\ln 2\approx 27726\text{ heures.}$$

Elle vaut environ $0,69$ fois l'espérance. L'écart vient de l'asymétrie de la loi : la densité décroît, donc beaucoup d'ampoules meurent tôt, et une minorité tient très longtemps en tirant la moyenne vers le haut.

• Garantie. On cherche $t_0$ tel que $P(X<t_0)=0,05$, soit

$$1-e^{-\lambda t_0}=0,05⟺e^{-\lambda t_0}=0,95⟺-\lambda t_0=\ln 0,95,$$

donc

$$t_0=\frac{-\ln 0,95}{2,5\times 10^{-5}}=40000\times \ln \frac{1}{0,95}\approx 2052\text{ heures.}$$

• Ampoule déjà usagée. Par absence de mémoire,

$$P_{(X>30000)}(X>50000)=P(X>20000)=e^{-0,5}\approx 0,607,$$

à comparer aux $0,287$ de la question 2. La différence n'est pas une contradiction : la question 2 porte sur une ampoule neuve, qui doit encore franchir $50000$ heures, alors que l'ampoule usagée n'a plus que $20000$ heures à parcourir. Ce qui est identique, ce sont les durées restantes à parcourir, pas les instants.

• En années. À $4$ heures par jour, soit $1460$ heures par an :

$$\frac{40000}{1460}\approx 27,4\text{ ans},\frac{2052}{1460}\approx 1,4\text{ an.}$$

Une garantie de $10$ ans correspond à $14600$ heures, pour lesquelles

$$P(X<14600)=1-e^{-0,365}\approx 0,306.$$

Annoncer « garantie $10$ ans » obligerait à remplacer près d'une ampoule sur trois : le service commercial doit soit accepter ce coût, soit se limiter à la garantie de $14$ mois que donne le calcul, soit améliorer le produit.