Problème — La répartition des revenus — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Problème — La répartition des revenus.

Un économiste modélise le revenu annuel $X$ des ménages d'un pays, exprimé en dizaines de milliers d'euros, par la densité

$f (x) = \frac{3}{x ^{4}} sur [1; + \infty [,$

le revenu minimum garanti étant de $10000$ euros.

Vérifier que $f$ est une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition $F$ , puis la proportion de ménages gagnant plus de $30000$ euros.
Calculer le revenu moyen $E (X)$ et le revenu médian. Commenter l'écart.
Déterminer le seuil $x_{0}$ au-dessus duquel se trouvent les $10 %$ de ménages les plus riches.
Montrer que la part du revenu total détenue par ces $10 %$ vaut $\frac{1}{x _{0}^{2}}$ , et la calculer.
Le gouvernement envisage de communiquer sur le revenu moyen. Que lui conseiller ?

Une densité. Sur $[1; + \infty [$ , $f (x) = 3 x^{- 4} > 0$ et $f$ est continue. Une primitive de $3 x^{- 4}$ est $- x^{- 3}$ , donc

$\int_{1}^{X} \frac{3}{x ^{4}} d x = [- \frac{1}{x ^{3}}]_{1}^{X} = 1 - \frac{1}{X ^{3}},$

qui tend vers $1$ quand $X$ devient grand. L'aire totale vaut bien $1$ .

Répartition. Le calcul précédent donne directement

$F (x) = 1 - \frac{1}{x ^{3}} pour x \geq 1.$

Un revenu de $30000$ euros correspond à $x = 3$ , donc

$P (X > 3) = \frac{1}{27} \approx 0, 037 :$

moins de $4 %$ des ménages dépassent $30000$ euros.

Moyenne et médiane. Une primitive de $x \times 3 x^{- 4} = 3 x^{- 3}$ est $- \frac{3}{2 x ^{2}}$ , donc

$\int_{1}^{X} \frac{3}{x ^{3}} d x = [- \frac{3}{2 x ^{2}}]_{1}^{X} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 X ^{2}} X grand \frac{3}{2} .$

Le revenu moyen est donc $E (X) = 1, 5$ , soit $15000$ euros. La médiane $m$ vérifie $F (m) = 0, 5$ , c'est-à-dire $\frac{1}{m ^{3}} = \frac{1}{2}$ , donc

$m = 32 \approx 1, 260,$

soit $12599$ euros. La moyenne dépasse la médiane de près de $20 %$ : une minorité de hauts revenus tire la moyenne, sans rien changer à la situation du ménage médian.

Le seuil des dix pour cent. On cherche $x_{0}$ tel que $P (X > x_{0}) = 0, 1$ , c'est-à-dire $\frac{1}{x _{0}^{3}} = 0, 1$ :

$x_{0} = 310 \approx 2, 154,$

soit environ $21544$ euros.

Leur part du gâteau. Le revenu total détenu par les ménages au-dessus de $x_{0}$ vaut $\int_{x_{0}}^{+ \infty} x f (x) d x$ , tandis que le revenu total du pays est $E (X)$ . Avec la primitive déjà calculée,

$\int_{x_{0}}^{+ \infty} \frac{3}{x ^{3}} d x = [- \frac{3}{2 x ^{2}}]_{x_{0}}^{+ \infty} = \frac{3}{2 x _{0}^{2}} .$

La part cherchée est donc

$\frac{\frac{3}{2 x _{0}^{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x _{0}^{2}} .$

Avec $x_{0} = 310$ , cela donne $\frac{1}{1 0 ^{2/3}} \approx 0, 215$ .

Conseil. Les $10 %$ les plus riches détiennent $21, 5 %$ du revenu total, soit plus du double de leur poids démographique. Communiquer sur le revenu moyen de $15000$ euros donnerait une image flatteuse et fausse : la moitié des ménages vit avec moins de $12600$ euros.

Une moyenne ne résume honnêtement une distribution que si celle-ci est à peu près symétrique. Dès qu'elle est étirée vers la droite — revenus, durées de vie, temps d'attente — il faut lui adjoindre la médiane, et souvent la part détenue par les derniers déciles.

Problème — La répartition des revenus

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