Problème — La répartition des revenus

• Une densité. Sur $[1;+\infty [$, $f(x)=3x^{-4}>0$ et $f$ est continue. Une primitive de $3x^{-4}$ est $-x^{-3}$, donc

$${\int }_1^X\frac{3}{x^4}\mathrm{d}x={\left[-\frac{1}{x^3}\right]}_1^X=1-\frac{1}{X^3},$$

qui tend vers $1$ quand $X$ devient grand. L'aire totale vaut bien $1$.

• Répartition. Le calcul précédent donne directement

$$F(x)=1-\frac{1}{x^3}\text{pour }x\ge 1.$$

Un revenu de $30000$ euros correspond à $x=3$, donc

$$P(X>3)=\frac{1}{27}\approx 0,037:$$

moins de $4\%$ des ménages dépassent $30000$ euros.

• Moyenne et médiane. Une primitive de $x\times 3x^{-4}=3x^{-3}$ est $-\frac{3}{2x^2}$, donc

$${\int }_1^X\frac{3}{x^3}\mathrm{d}x={\left[-\frac{3}{2x^2}\right]}_1^X=\frac{3}{2}-\frac{3}{2X^2}\underset{X\text{ grand}}{\to }\frac{3}{2}.$$

Le revenu moyen est donc $E(X)=1,5$, soit $15000$ euros. La médiane $m$ vérifie $F(m)=0,5$, c'est-à-dire $\frac{1}{m^3}=\frac{1}{2}$, donc

$$m=\sqrt[3]{2}\approx 1,260,$$

soit $12599$ euros. La moyenne dépasse la médiane de près de $20\%$ : une minorité de hauts revenus tire la moyenne, sans rien changer à la situation du ménage médian.

• Le seuil des dix pour cent. On cherche $x_0$ tel que $P(X>x_0)=0,1$, c'est-à-dire $\frac{1}{x_0^3}=0,1$ :

$$x_0=\sqrt[3]{10}\approx 2,154,$$

soit environ $21544$ euros.

• Leur part du gâteau. Le revenu total détenu par les ménages au-dessus de $x_0$ vaut ${\int }_{x_0}^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x$, tandis que le revenu total du pays est $E(X)$. Avec la primitive déjà calculée,

$${\int }_{x_0}^{+\infty }\frac{3}{x^3}\mathrm{d}x={\left[-\frac{3}{2x^2}\right]}_{x_0}^{+\infty }=\frac{3}{2x_0^2}.$$

La part cherchée est donc

$$\frac{\frac{3}{2x_0^2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{x_0^2}.$$

Avec $x_0=\sqrt[3]{10}$, cela donne $\frac{1}{10^{2/3}}\approx 0,215$.

• Conseil. Les $10\%$ les plus riches détiennent $21,5\%$ du revenu total, soit plus du double de leur poids démographique. Communiquer sur le revenu moyen de $15000$ euros donnerait une image flatteuse et fausse : la moitié des ménages vit avec moins de $12600$ euros.

Une moyenne ne résume honnêtement une distribution que si celle-ci est à peu près symétrique. Dès qu'elle est étirée vers la droite — revenus, durées de vie, temps d'attente — il faut lui adjoindre la médiane, et souvent la part détenue par les derniers déciles.