Problème — Le cabinet médical et l'addition des consultations

• Le modèle. La densité est $f(t)=\frac{1}{20}$ sur $[10;30]$, et

$$E(C)=\frac{10+30}{2}=20\text{ min},\sigma (C)=\frac{30-10}{2\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}\approx 5,77\text{ min.}$$

• Une consultation longue. $P(C>25)=\frac{30-25}{20}=\frac{5}{20}=0,25$.
• Conditionnellement.

$$P_{(C>20)}(C>25)=\frac{P(C>25)}{P(C>20)}=\frac{5/20}{10/20}=0,5,$$

alors que $P(C>25)=0,25$. La probabilité a doublé : la loi uniforme a bel et bien de la mémoire, et le fait de savoir que la consultation s'éternise change tout. C'est l'opposé de la loi exponentielle.

• Le total de quatre consultations. L'espérance d'une somme est la somme des espérances, donc $E(S)=4\times 20=80$ minutes. On simule :

seed(11)
consultation = lambda: 10 + 20 * random()
totaux = [somme(consultation, 4) for _ in range(N)]
print(round(sum(totaux) / N, 3))                     # 80.006
for seuil in (80, 90, 100):
    print(seuil, sum(1 for s in totaux if s > seuil) / N)
# 80 0.50018
# 90 0.20048
# 100 0.04178

On estime $P(S>90)\approx 0,200$ et $P(S>100)\approx 0,042$.

• Un contrôle exact. La densité de $C$ est symétrique par rapport à $20$ : les valeurs $20-h$ et $20+h$ sont interchangeables. En remplaçant chacune des quatre durées $C_i$ par $40-C_i$, qui suit la même loi, on transforme $S$ en $160-S$. Les deux ont donc la même loi, et

$$P(S>80)=P(160-S>80)=P(S<80).$$

Ces deux probabilités valent $0,5$ chacune, puisqu'elles sont égales, de somme $1$ (le cas $S=80$ étant de probabilité nulle). La simulation donne $0,50018$ : l'écart est de $2$ pour $10000$, ce qui valide le programme.

• Le créneau d'une heure et demie. Une heure et demie fait $90$ minutes, et $P(S>90)\approx 0,20$ : une fois sur cinq, le médecin déborde.

Programmer quatre consultations dans un créneau de $90$ minutes revient à accepter un retard un jour sur cinq. Trois consultations ($E=60$ min) laisseraient une marge confortable ; quatre exigent d'accepter le débordement ou de prévoir un rattrapage.