Problème — Le cabinet médical et l'addition des consultations — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Problème — Le cabinet médical et l'addition des consultations.

Dans un cabinet, la durée $C$ d'une consultation, en minutes, suit la loi uniforme sur $[10; 30]$ . Les consultations sont indépendantes les unes des autres.

Donner la densité de $C$ , puis $E (C)$ et $σ (C)$ .
Calculer $P (C > 25)$ .
Une consultation dure déjà depuis $20$ minutes. Calculer la probabilité qu'elle dépasse $25$ minutes. La loi uniforme a-t-elle de la mémoire ?
Le médecin enchaîne $4$ consultations. Prévoir l'espérance du total $S$ , puis simuler $100000$ fois ce total et estimer $P (S > 90)$ et $P (S > 100)$ .
Montrer, sans simulation, que $P (S > 80) = 0, 5$ , et s'en servir pour contrôler la simulation.
Le médecin dispose d'un créneau d'une heure et demie. Que lui conseiller ?

Le modèle. La densité est $f (t) = \frac{1}{20}$ sur $[10; 30]$ , et

$E (C) = \frac{10 + 30}{2} = 20 min, σ (C) = \frac{30 - 10}{2 3} = \frac{10}{3} \approx 5, 77 min.$

Une consultation longue. $P (C > 25) = \frac{30 - 25}{20} = \frac{5}{20} = 0, 25$ .
Conditionnellement.

$P_{(C > 20)} (C > 25) = \frac{P ( C > 25 )}{P ( C > 20 )} = \frac{5/20}{10/20} = 0, 5,$

alors que $P (C > 25) = 0, 25$ . La probabilité a doublé : la loi uniforme a bel et bien de la mémoire, et le fait de savoir que la consultation s'éternise change tout. C'est l'opposé de la loi exponentielle.

Le total de quatre consultations. L'espérance d'une somme est la somme des espérances, donc $E (S) = 4 \times 20 = 80$ minutes. On simule :


seed(11)
consultation = lambda: 10 + 20 * random()
totaux = [somme(consultation, 4) for _ in range(N)]
print(round(sum(totaux) / N, 3))                     # 80.006
for seuil in (80, 90, 100):
    print(seuil, sum(1 for s in totaux if s > seuil) / N)
# 80 0.50018
# 90 0.20048
# 100 0.04178

On estime $P (S > 90) \approx 0, 200$ et $P (S > 100) \approx 0, 042$ .

Un contrôle exact. La densité de $C$ est symétrique par rapport à $20$ : les valeurs $20 - h$ et $20 + h$ sont interchangeables. En remplaçant chacune des quatre durées $C_{i}$ par $40 - C_{i}$ , qui suit la même loi, on transforme $S$ en $160 - S$ . Les deux ont donc la même loi, et

$P (S > 80) = P (160 - S > 80) = P (S < 80) .$

Ces deux probabilités valent $0, 5$ chacune, puisqu'elles sont égales, de somme $1$ (le cas $S = 80$ étant de probabilité nulle). La simulation donne $0, 50018$ : l'écart est de $2$ pour $10000$ , ce qui valide le programme.

Le créneau d'une heure et demie. Une heure et demie fait $90$ minutes, et $P (S > 90) \approx 0, 20$ : une fois sur cinq, le médecin déborde.

Programmer quatre consultations dans un créneau de $90$ minutes revient à accepter un retard un jour sur cinq. Trois consultations ( $E = 60$ min) laisseraient une marge confortable ; quatre exigent d'accepter le débordement ou de prévoir un rattrapage.

Problème — Le cabinet médical et l'addition des consultations

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