Problème — Séismes, du discret au continu — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Problème — Séismes, du discret au continu

Lois à densité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Séismes, du discret au continu.

Dans une région, on observe en moyenne un séisme majeur tous les $40$ ans. On modélise le temps $X$ écoulé entre deux séismes par une loi exponentielle.

Déterminer $λ$ , puis calculer $P (X > 10)$ et $P (X \leq 20)$ .
Le dernier séisme majeur remonte à $50$ ans. Un géologue affirme : « le risque est maintenant beaucoup plus élevé ». Que répond le modèle ?
On note $Y$ le nombre d'années entières à attendre jusqu'au prochain séisme, en considérant chaque année comme une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ où $p$ est la probabilité qu'un séisme survienne dans l'année. Exprimer $p$ en fonction de $λ$ et le calculer.
Montrer que $P (Y > n) = e^{- λn}$ pour tout entier $n$ , et comparer à $P (X > n)$ .
Calculer $E (Y)$ et comparer à $E (X)$ .
Que conclure sur le lien entre loi géométrique et loi exponentielle ?

Corrigé

Le paramètre. L'espérance vaut $40$ ans, donc $λ = \frac{1}{40} = 0, 025$ an $^{- 1}$ . Alors

$P (X > 10) = e^{- 0, 25} \approx 0, 779, P (X \leq 20) = 1 - e^{- 0, 5} \approx 0, 393.$

Le géologue et le modèle. Par absence de mémoire,

$P_{(X > 50)} (X > 60) = P (X > 10) = e^{- 0, 25} \approx 0, 779.$

Le modèle répond donc : non, le risque des dix prochaines années est exactement celui de n'importe quelle décennie. Si le géologue a raison — et l'accumulation de contraintes tectoniques lui donne souvent raison — c'est le modèle qui est en défaut, pas le calcul : la loi exponentielle suppose qu'il n'y a pas d'accumulation.

Passage au discret. Un séisme survient dans l'année qui vient si et seulement si $X \leq 1$ , donc

$p = P (X \leq 1) = 1 - e^{- λ} = 1 - e^{- 0, 025} \approx 0, 0247,$

soit environ $2, 47 %$ par an. La variable $Y$ suit alors une loi géométrique de paramètre $p$ .

Une coïncidence qui n'en est pas une. Pour la loi géométrique, $P (Y > n) = (1 - p)^{n}$ . Or $1 - p = e^{- λ}$ , donc

$P (Y > n) = (e^{- λ})^{n} = e^{- λn} = P (X > n) .$

Les deux modèles donnent exactement la même réponse à chaque question posée en années entières : par exemple $P (Y > 10) = P (X > 10) \approx 0, 779$ .

Espérances. Le chapitre 8 donne (résultat admis) $E (Y) = \frac{1}{p}$ , donc

$E (Y) = \frac{1}{0 , 0247} \approx 40, 5 ans, E (X) = 40 ans.$

Le léger écart vient de l'arrondi à l'année entière supérieure : $Y$ ne peut pas valoir $40, 3$ , il vaut $41$ .

Conclusion. La loi exponentielle est le modèle continu dont la loi géométrique est l'échantillonnage à pas d'un an. Les deux partagent l'absence de mémoire, et c'est la seule propriété dont on ait eu besoin : c'est elle qui force la forme $e^{- λ t}$ , exactement comme elle force la forme $(1 - p)^{n}$ dans le discret.