Alignement, orthogonalité — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 2)

Alignement, orthogonalité

Applications à l'algèbre et la géométrie · niveau 1 (application)

Énoncé

Alignement, orthogonalité.

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'affixes :

$z_{A} = 2 + i, z_{B} = - 1 + 3 i, z_{C} = 5 - i, z_{D} = 4 + 4 i$

Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, et préciser la position de $A$ sur le segment $[B C]$ .
Démontrer que le triangle $A B D$ est rectangle et isocèle en $A$ .

Corrigé

Calculons le quotient caractéristique de l'alignement :

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{( 5 - i ) - ( 2 + i )}{( - 1 + 3 i ) - ( 2 + i )} = \frac{3 - 2 i}{- 3 + 2 i} = \frac{3 - 2 i}{- ( 3 - 2 i )} = - 1$

Ce quotient est réel : les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés. De plus, $A C = - A B$ , donc $z_{B} - z_{A} = - (z_{C} - z_{A})$ , c'est-à-dire $z_{A} = \frac{z _{B} + z _{C}}{2}$ . On vérifie : $\frac{( - 1 + 3 i ) + ( 5 - i )}{2} = \frac{4 + 2 i}{2} = 2 + i = z_{A}$ . Le point $A$ est donc le milieu de $[B C]$ .

Calculons de même :

$\frac{z _{D} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{( 4 + 4 i ) - ( 2 + i )}{- 3 + 2 i} = \frac{2 + 3 i}{- 3 + 2 i} = \frac{( 2 + 3 i ) ( - 3 - 2 i )}{( - 3 ) ^{2} + 2 ^{2}}$

$= \frac{- 6 - 4 i - 9 i - 6 i ^{2}}{13} = \frac{- 6 + 6 - 13 i}{13} = \frac{- 13 i}{13} = - i$

D'après la caractérisation du cours, le quotient valant $- i$ , le triangle $A B D$ est rectangle et isocèle en $A$ . Contrôle direct des longueurs : $A B = ∣ - 3 + 2 i ∣ = 9 + 4 = 13$ et $A D = ∣2 + 3 i ∣ = 4 + 9 = 13$ , tandis que $B D = ∣ z_{D} - z_{B} ∣ = ∣5 + i ∣ = 26 = 132$ : le théorème de Pythagore $A B^{2} + A D^{2} = 13 + 13 = 26 = B D^{2}$ est bien vérifié.