Alignement, orthogonalité

• Calculons le quotient caractéristique de l'alignement :

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{(5-\mathrm{i})-(2+\mathrm{i})}{(-1+3\mathrm{i})-(2+\mathrm{i})}=\frac{3-2\mathrm{i}}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{3-2\mathrm{i}}{-(3-2\mathrm{i})}=-1$$

Ce quotient est réel : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. De plus, $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$, donc $z_B-z_A=-(z_C-z_A)$, c'est-à-dire $z_A=\frac{z_B+z_C}{2}$. On vérifie : $\frac{(-1+3\mathrm{i})+(5-\mathrm{i})}{2}=\frac{4+2\mathrm{i}}{2}=2+\mathrm{i}=z_A$. Le point $A$ est donc le milieu de $[BC]$.

• Calculons de même :

$$\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=\frac{(4+4\mathrm{i})-(2+\mathrm{i})}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{2+3\mathrm{i}}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{(2+3\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i})}{(-3{)}^2+2^2}$$

$$=\frac{-6-4\mathrm{i}-9\mathrm{i}-6{\mathrm{i}}^2}{13}=\frac{-6+6-13\mathrm{i}}{13}=\frac{-13\mathrm{i}}{13}=-\mathrm{i}$$

D'après la caractérisation du cours, le quotient valant $-\mathrm{i}$, le triangle $ABD$ est rectangle et isocèle en $A$. Contrôle direct des longueurs : $AB=|-3+2\mathrm{i}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ et $AD=|2+3\mathrm{i}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, tandis que $BD=|z_D-z_B|=|5+\mathrm{i}|=\sqrt{26}=\sqrt{13}\sqrt{2}$ : le théorème de Pythagore $A{B}^2+A{D}^2=13+13=26=B{D}^2$ est bien vérifié.