Équation bicarrée

Posons $Z=z^2$. L'équation devient $Z^2+Z-12=0$, équation du second degré à coefficients réels de discriminant :

$$\Delta =1^2-4\times 1\times (-12)=1+48=49>0$$

D'où $Z=\frac{-1-7}{2}=-4$ ou $Z=\frac{-1+7}{2}=3$. Il reste à revenir à $z$ :

• $z^2=3$ donne $z=\sqrt{3}$ ou $z=-\sqrt{3}$ ;
• $z^2=-4=(2\mathrm{i}{)}^2$ donne $z=2\mathrm{i}$ ou $z=-2\mathrm{i}$.

$$S=\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3},-2\mathrm{i},2\mathrm{i}\right\}$$

Le polynôme est de degré $4$ et possède exactement $4$ racines dans $\mathbb{C}$ : le théorème sur le nombre de racines est bien respecté. Ces racines sont deux à deux conjuguées, comme il se doit pour un polynôme à coefficients réels.