Équation du second degré à coefficients complexes

La mise sous forme canonique ne fait intervenir que les règles de calcul de $\mathbb{C}$ : elle reste valable avec des coefficients complexes. La méthode du discriminant s'applique donc, à condition de remplacer $\sqrt{\Delta }$ par une racine carrée $\delta$ de $\Delta$. Calculons le discriminant :

$$\Delta =(3+\mathrm{i}{)}^2-4(2+2\mathrm{i})=9+6\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2-8-8\mathrm{i}=8+6\mathrm{i}-8-8\mathrm{i}=-2\mathrm{i}$$

Cherchons une racine carrée $\delta =x+\mathrm{i}y$ de $-2\mathrm{i}$, avec $|-2\mathrm{i}|=2$ :

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=0\\ 2xy=-2\\ x^2+y^2=2\end{array}⟹x^2=1,y^2=1,xy=-1<0$$

Les réels $x$ et $y$ sont de signes contraires : $\delta =1-\mathrm{i}$ convient (en effet $(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-2\mathrm{i}$). Les solutions sont alors :

$$z_1=\frac{(3+\mathrm{i})-(1-\mathrm{i})}{2}=\frac{2+2\mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}\text{et}{z}_2=\frac{(3+\mathrm{i})+(1-\mathrm{i})}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Vérification par somme et produit : $z_1+z_2=3+\mathrm{i}$ et $z_1{z}_2=2(1+\mathrm{i})=2+2\mathrm{i}$, ce qui redonne bien les coefficients de l'équation.

$$S=\{2,1+\mathrm{i}\}$$

On remarque que les deux solutions ne sont pas conjuguées : c'est normal, les coefficients ne sont pas tous réels.