Problème — Cocyclicité et alignement

Applications à l'algèbre et la géométrie · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Cocyclicité et alignement.

Soient quatre points distincts $A, B, C, D$ d'affixes respectives :

$z_{A} = - 2, z_{B} = 2 i, z_{C} = 2, z_{D} = - 2 i$

Démontrer que les quatre points appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer le rapport complexe $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{D}}$ . En déduire une propriété géométrique des segments $[A C]$ et $[B D]$ .

Corrigé

Calculons le module de chaque affixe :

$∣ z_{A} ∣ = ∣ - 2∣ = 2, ∣ z_{B} ∣ = ∣2 i ∣ = 2, ∣ z_{C} ∣ = ∣2∣ = 2, ∣ z_{D} ∣ = ∣ - 2 i ∣ = 2$

Puisque $O A = O B = O C = O D = 2$ , les points $A, B, C, D$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 2.

Calculons le quotient :

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{D}} = \frac{2 - ( - 2 )}{2 i - ( - 2 i )} = \frac{4}{4 i} = \frac{1}{i} = - i$

le module du quotient vaut $∣ - i ∣ = 1$ , donc $A C = B D$ ;
l'argument de $- i$ vaut $- \frac{π}{2} (mod 2 π)$ , donc les segments $[A C]$ et $[B D]$ sont orthogonaux.

Le quadrilatère $A B C D$ est en fait un carré inscrit dans le cercle de rayon 2.

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