mathématiques expertes (terminale) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Problème — Étude géométrique et rotations

Applications à l'algèbre et la géométrie · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Étude géométrique et rotations.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives :

$z_{A} = i, z_{B} = 3, z_{C} = 3 + i$

Placer les points dans le plan complexe.
Montrer que le triangle $O B C$ est rectangle en $B$ .
Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{3}$ . Déterminer l'affixe du point $A^{'}$ image de $A$ par $R$ .

Corrigé

Les coordonnées cartésiennes des points sont $A (0, 1)$ , $B (3, 0)$ et $C (3, 1)$ .
Pour montrer que le triangle $O B C$ est rectangle en $B$ , calculons le rapport :

$\frac{z _{C} - z _{B}}{z _{O} - z _{B}} = \frac{3 + i - 3}{0 - 3} = \frac{i}{- 3} = - \frac{1}{3} i$

Le quotient est un imaginaire pur. Les vecteurs $B C$ et $B O$ sont donc orthogonaux. Le triangle $O B C$ est ainsi rectangle en $B$ .

La rotation $R$ a pour centre $O (0)$ et pour angle $\frac{π}{3}$ . Son écriture complexe est :

$z^{'} = e^{i \frac{π}{3}} z$

Calculons l'affixe de $A^{'}$ :

$z_{A^{'}} = e^{i \frac{π}{3}} z_{A} = (\frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) i = \frac{1}{2} i - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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