Problème — Le pentagone régulier et la valeur exacte de $\cos \frac{2\pi }{5}$

• Les nombres $1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4$ sont exactement les cinq éléments de ${\mathbb{U}}_5$. Comme $\omega \ne 1$, la somme des termes de cette suite géométrique vaut :

$$\sum _{k=0}^4{\omega }^k=\frac{1-{\omega }^5}{1-\omega }=\frac{1-1}{1-\omega }=0$$

car ${\omega }^5=e^{\mathrm{i}2\pi }=1$.

• Puisque $|\omega |=1$, on a $\omega \bar{\omega }=|\omega {|}^2=1$, donc $\bar{\omega }=\frac{1}{\omega }={\omega }^{-1}$. Or ${\omega }^5=1$, donc ${\omega }^{-1}={\omega }^4$ : ainsi ${\omega }^4=\bar{\omega }$. Le même argument appliqué à ${\omega }^2$ (de module $1$) donne $\overline{{\omega }^2}={\omega }^{-2}={\omega }^3$. Par conséquent :

$$u=\omega +\bar{\omega }=2\mathrm{Re}(\omega )=2\cos \frac{2\pi }{5},v={\omega }^2+\overline{{\omega }^2}=2\mathrm{Re}({\omega }^2)=2\cos \frac{4\pi }{5}$$

Ces deux nombres sont bien réels.

• La question 1 donne immédiatement :

$$u+v=\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=-1$$

Pour le produit, développons en utilisant ${\omega }^5=1$ (donc ${\omega }^6=\omega$ et ${\omega }^7={\omega }^2$) :

$$uv=(\omega +{\omega }^4)({\omega }^2+{\omega }^3)={\omega }^3+{\omega }^4+{\omega }^6+{\omega }^7={\omega }^3+{\omega }^4+\omega +{\omega }^2=-1$$

Deux nombres de somme $S=-1$ et de produit $P=-1$ sont les solutions de $X^2-SX+P=0$, c'est-à-dire :

$$X^2+X-1=0$$

• Le discriminant vaut $\Delta =1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$, d'où les deux solutions réelles :

$$X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618\text{et}{X}_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1,618$$

Il reste à savoir laquelle est $u$. Comme $\frac{2\pi }{5}\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, on a $\cos \frac{2\pi }{5}>0$, donc $u>0$ ; et comme $\frac{4\pi }{5}\in \left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$, on a $v<0$. Donc :

$$u=\frac{\sqrt{5}-1}{2},v=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$

• De $u=2\cos \frac{2\pi }{5}$ et $v=2\cos \frac{4\pi }{5}$ on tire :

$$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx 0,309\text{et}\cos \frac{4\pi }{5}=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx -0,809$$

Pour le sinus, comme $\frac{2\pi }{5}$ est dans $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, on a $\sin \frac{2\pi }{5}>0$ et :

$${\sin }^2\frac{2\pi }{5}=1-{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)}^2=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\text{d’ouˋ}\sin \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

(numériquement $\approx 0,951$, ce qui est cohérent avec ${\cos }^2+{\sin }^2=1$).

• Les sommets sont les images des cinq éléments de ${\mathbb{U}}_5$, c'est-à-dire des nombres ${\omega }^k$ pour $k=0,\dots ,4$. Les deux derniers s'obtiennent par conjugaison : ${\omega }^3=\overline{{\omega }^2}$ et ${\omega }^4=\bar{\omega }$, donc ils ont la même partie réelle que ${\omega }^2$ et $\omega$ et des parties imaginaires opposées. Les coordonnées exactes sont donc :

$$(1,0),\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4},\pm \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right),\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{4},\pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)$$

où le calcul de $\sin \frac{4\pi }{5}$ se mène comme celui de $\sin \frac{2\pi }{5}$ :

$${\sin }^2\frac{4\pi }{5}=1-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)}^2=1-\frac{6+2\sqrt{5}}{16}=\frac{10-2\sqrt{5}}{16}$$

C'est ce calcul qui rend le pentagone régulier constructible à la règle et au compas : le nombre $u=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ n'est autre que l'inverse du nombre d'or $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.