Problème — Une équation de degré 4 et un carré

• La formule du binôme donne :

$$(z+1{)}^4=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})z^4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})z^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})z^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})z+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})=z^4+4z^3+6z^2+4z+1$$

En ajoutant $4$ : $(z+1{)}^4+4=z^4+4z^3+6z^2+4z+5=P(z)$.

• Écrivons $-4$ sous forme exponentielle : $|-4|=4$ et $\arg (-4)=\pi$, donc $-4=4e^{\mathrm{i}\pi }$. Cherchons $w=\rho e^{\mathrm{i}\phi }$ avec $\rho >0$ :

$$w^4=-4⟺\{\begin{array}{l}{\rho }^4=4\\ 4\phi \equiv \pi (\mathrm{mod}2\pi )\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{2}\\ \phi =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \{0,1,2,3\}\end{array}$$

Comme $\sqrt{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+\mathrm{i}$ et que $e^{\mathrm{i}\frac{k\pi }{2}}={\mathrm{i}}^k$, les quatre solutions s'écrivent $w_k=(1+\mathrm{i}){\mathrm{i}}^k$ :

$$w_0=1+\mathrm{i},w_1=-1+\mathrm{i},w_2=-1-\mathrm{i},w_3=1-\mathrm{i}$$

(Vérification : $(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$, donc $(1+\mathrm{i}{)}^4=(2\mathrm{i}{)}^2=-4$.) On retrouve ici un principe général : les solutions de $w^n=c$ s'obtiennent en multipliant une solution particulière par les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, ici ${\mathbb{U}}_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$.

• Comme $P(z)=0⟺(z+1{)}^4=-4⟺w^4=-4$ avec $w=z+1$, il suffit de retrancher $1$ :

$$S=\left\{\mathrm{i},-2+\mathrm{i},-2-\mathrm{i},-\mathrm{i}\right\}$$

Contrôle sur l'une d'elles : $P(\mathrm{i})={\mathrm{i}}^4+4{\mathrm{i}}^3+6{\mathrm{i}}^2+4\mathrm{i}+5=1-4\mathrm{i}-6+4\mathrm{i}+5=0$.

• Les solutions se regroupent en deux paires de conjugués : $\{\mathrm{i},-\mathrm{i}\}$ et $\{-2+\mathrm{i},-2-\mathrm{i}\}$. C'était prévisible : les coefficients de $P$ sont réels, donc $\overline{P(z)}=P(\bar{z})$ pour tout $z$ (les propriétés du conjugué d'une somme et d'un produit donnent $\overline{a_k{z}^k}=a_k{\bar{z}}^k$ lorsque $a_k\in \mathbb{R}$). Ainsi $P(z)=0$ entraîne $P(\bar{z})=\overline{P(z)}=0$ : les racines non réelles vont par paires conjuguées.
• Notons $A(\mathrm{i})$, $B(-2+\mathrm{i})$, $C(-2-\mathrm{i})$ et $D(-\mathrm{i})$, soit en coordonnées $A(0,1)$, $B(-2,1)$, $C(-2,-1)$ et $D(0,-1)$. Calculons les affixes des côtés consécutifs :

$$z_B-z_A=-2,z_C-z_B=-2\mathrm{i},z_D-z_C=2,z_A-z_D=2\mathrm{i}$$

Les quatre côtés ont la même longueur $2$ : $ABCD$ est un losange. De plus :

$$\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-2\mathrm{i}}{-2}=\mathrm{i}$$

est un imaginaire pur, donc $(AB)\perp (BC)$ : le losange possède un angle droit, c'est un carré de côté $2$. Son centre est le milieu de la diagonale $[AC]$, d'affixe $\frac{\mathrm{i}+(-2-\mathrm{i})}{2}=-1$. On vérifie que les quatre sommets sont à la même distance $|-1-\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ de ce point, qui est bien le centre du cercle circonscrit.