Problème — Une similitude et une spirale de points

• Posons $a=\frac{1+\mathrm{i}}{2}$ et $b=\frac{1-\mathrm{i}}{2}$, de sorte que $s(z)=az+b$ avec $a\ne 0$ et $a\ne 1$. Le point fixe $\omega$ vérifie $\omega =a\omega +b$, soit $\omega (1-a)=b$. Or $1-a=1-\frac{1+\mathrm{i}}{2}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}=b$, donc :

$$\omega =\frac{b}{1-a}=1$$

En soustrayant $\omega =a\omega +b$ de $z^{\prime }=az+b$, on obtient $z^{\prime }-1=a(z-1)$. Calculons le module et un argument de $a$ :

$$|a|=\frac{|1+\mathrm{i}|}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},\arg (a)=\arg (1+\mathrm{i})=\frac{\pi }{4}\text{donc}a=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$$

La transformation $s$ est la similitude directe de centre $\Omega (1)$, de rapport $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$.

• Calculons pas à pas :

$$z_1=s(0)=\frac{1-\mathrm{i}}{2}$$

$$z_2=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\cdot \frac{1-\mathrm{i}}{2}+\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\frac{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{4}+\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\frac{2}{4}+\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}=1-\frac{1}{2}\mathrm{i}$$

$$z_3=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\left(1-\frac{\mathrm{i}}{2}\right)+\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\frac{1+\mathrm{i}}{2}-\frac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{4}+\frac{1-\mathrm{i}}{2}=1+\frac{1-\mathrm{i}}{4}=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\mathrm{i}$$

(on a utilisé $\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=\mathrm{i}-1$, d'où $-\frac{\mathrm{i}-1}{4}=\frac{1-\mathrm{i}}{4}$).

• Initialisation : pour $n=0$, $1-a^0=1-1=0=z_0$. Hérédité : supposons $z_n=1-a^n$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$. Alors :

$$z_{n+1}=a{z}_n+b=a(1-a^n)+(1-a)=a-a^{n+1}+1-a=1-a^{n+1}$$

(on a remplacé $b$ par $1-a$, égalité établie à la question 1). La formule est donc vraie au rang $n+1$. Par récurrence, $z_n=1-{\left(\frac{1+\mathrm{i}}{2}\right)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Contrôle : pour $n=2$, $a^2=\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{4}=\frac{2\mathrm{i}}{4}=\frac{\mathrm{i}}{2}$, d'où $z_2=1-\frac{\mathrm{i}}{2}$, conforme au calcul direct.

• La relation précédente donne $z_n-1=-a^n$, d'où :

$$\Omega M_n=|z_n-1|=|a{|}^n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$$

C'est une suite géométrique de raison $\frac{\sqrt{2}}{2}\in ]0,1[$ : elle converge vers $0$. Les points $M_n$ se rapprochent donc indéfiniment du centre $\Omega$, en tournant à chaque étape d'un angle de $\frac{\pi }{4}$ autour de lui : ils décrivent une spirale qui s'enroule autour de $\Omega (1)$.

• Écrivons $a^n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi }{4}}$, de sorte que :

$$\mathrm{Im}(z_n)=-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n\sin \left(\frac{n\pi }{4}\right)$$

Le facteur ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$ étant strictement positif, $M_n$ est sur l'axe des réels si et seulement si $\sin \left(\frac{n\pi }{4}\right)=0$, c'est-à-dire $\frac{n\pi }{4}\equiv 0(\mathrm{mod}\pi )$, soit $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$. Les points cherchés sont donc $M_0,M_4,M_8,\dots$ : ceux dont l'indice est un multiple de $4$. On vérifie sur $n=4$ : $a^4=(a^2{)}^2={\left(\frac{\mathrm{i}}{2}\right)}^2=-\frac{1}{4}$, d'où $z_4=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, qui est bien réel.