Racines cubiques d'un nombre réel

Première méthode (forme exponentielle). L'équation impose $z\ne 0$ ; écrivons $z=r{e}^{\mathrm{i}\theta }$ avec $r>0$. Alors $z^3=r^3{e}^{\mathrm{i}3\theta }$ et $8=8e^{\mathrm{i}\cdot 0}$, d'où :

$$\{\begin{array}{l}{r}^3=8\\ 3\theta \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )\end{array}⟹r=2,\theta =\frac{2k\pi }{3},k\in \{0,1,2\}$$

Les trois solutions sont $2$, $2e^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $2e^{\mathrm{i}\frac{4\pi }{3}}$, soit sous forme algébrique :

$$2,2\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+\mathrm{i}\sqrt{3},-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$$

Seconde méthode (factorisation). Le nombre $2$ est racine évidente ; d'après le théorème de factorisation de $z^n-a^n$ avec $n=3$ et $a=2$ :

$$z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)$$

Le trinôme $z^2+2z+4$ a pour discriminant $\Delta =4-16=-12<0$, d'où :

$$z=\frac{-2\pm \mathrm{i}\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=-1\pm \mathrm{i}\sqrt{3}$$

Les deux méthodes concordent :

$$S=\left\{2,-1+\mathrm{i}\sqrt{3},-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right\}$$

Ces trois nombres s'écrivent $2u$ avec $u\in {\mathbb{U}}_3$ : leurs images forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.