Racines cubiques d'un nombre réel — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 2)

Racines cubiques d'un nombre réel

Applications à l'algèbre et la géométrie · niveau 1 (application)

Énoncé

Racines cubiques d'un nombre réel.

Résoudre dans $C$ l'équation $z^{3} = 8$ , d'abord à l'aide de la forme exponentielle, puis par factorisation.

Corrigé

Première méthode (forme exponentielle). L'équation impose $z \neq = 0$ ; écrivons $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ . Alors $z^{3} = r^{3} e^{i 3 θ}$ et $8 = 8 e^{i \cdot 0}$ , d'où :

${r^{3} = 8 3 θ \equiv 0 (mod 2 π) ⟹ r = 2, θ = \frac{2 k π}{3}, k \in {0, 1, 2}$

Les trois solutions sont $2$ , $2 e^{i \frac{2 π}{3}}$ et $2 e^{i \frac{4 π}{3}}$ , soit sous forme algébrique :

$2, 2 (- \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = - 1 + i 3, - 1 - i 3$

Seconde méthode (factorisation). Le nombre $2$ est racine évidente ; d'après le théorème de factorisation de $z^{n} - a^{n}$ avec $n = 3$ et $a = 2$ :

$z^{3} - 8 = (z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)$

Le trinôme $z^{2} + 2 z + 4$ a pour discriminant $Δ = 4 - 16 = - 12 < 0$ , d'où :

$z = \frac{- 2 \pm i 12}{2} = \frac{- 2 \pm 2 i 3}{2} = - 1 \pm i 3$

Les deux méthodes concordent :

$S = {2, - 1 + i 3, - 1 - i 3}$

Ces trois nombres s'écrivent $2 u$ avec $u \in U_{3}$ : leurs images forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ .