Reconnaître une transformation

• Un point fixe vérifie $z=(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}$, soit $z(1-(1+\mathrm{i}))=-\mathrm{i}$, c'est-à-dire $-\mathrm{i}z=-\mathrm{i}$. Comme $-\mathrm{i}\ne 0$, on obtient l'unique solution $\omega =1$. Le point fixe est $\Omega (1)$.
• En soustrayant l'égalité $\omega =(1+\mathrm{i})\omega -\mathrm{i}$ de l'égalité $z^{\prime }=(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}$ :

$$z^{\prime }-\omega =(1+\mathrm{i})(z-\omega )$$

Écrivons $1+\mathrm{i}$ sous forme exponentielle : $|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ et $\arg (1+\mathrm{i})=\frac{\pi }{4}$, donc $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$. La relation devient :

$$z^{\prime }-\omega =\sqrt{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}(z-\omega )$$

En prenant les modules, $\Omega M^{\prime }=\sqrt{2}\Omega M$ ; en prenant les arguments, $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}\right)\equiv \frac{\pi }{4}(\mathrm{mod}2\pi )$. La transformation $f$ est donc la similitude directe de centre $\Omega (1)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$ — autrement dit la composée de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\sqrt{2}$ et de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$.

• Pour $z=2+\mathrm{i}$ :

$$z^{\prime }=(1+\mathrm{i})(2+\mathrm{i})-\mathrm{i}=2+\mathrm{i}+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2-\mathrm{i}=2-1+2\mathrm{i}=1+2\mathrm{i}$$

Contrôle : $\Omega M=|2+\mathrm{i}-1|=|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ et $\Omega M^{\prime }=|1+2\mathrm{i}-1|=|2\mathrm{i}|=2=\sqrt{2}\times \sqrt{2}$, ce qui est bien le rapport annoncé. Pour l'angle :

$$\frac{z^{\prime }-1}{z-1}=\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{2}=\mathrm{i}(1-\mathrm{i})=1+\mathrm{i}$$

dont un argument est $\frac{\pi }{4}$ : l'angle de la similitude est confirmé.