Un ensemble de points caractérisé par un quotient

Le quotient n'est défini que pour $z\ne \mathrm{i}$, c'est-à-dire $M\ne B$. Par ailleurs, si $z=1$ le quotient vaut $0$, qui n'est pas un imaginaire pur : le point $A$ est également exclu.

Méthode géométrique. Pour $M$ distinct de $A$ et de $B$, multiplions numérateur et dénominateur par $-1$ :

$$Z=\frac{z-z_A}{z-z_B}=\frac{z_A-z}{z_B-z}\text{donc}\arg (Z)\equiv \left(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)(\mathrm{mod}2\pi )$$

puisque $z_A-z$ est l'affixe de $\overrightarrow{MA}$ et $z_B-z$ celle de $\overrightarrow{MB}$. Dire que $Z$ est imaginaire pur non nul, c'est dire que cet angle vaut $\pm \frac{\pi }{2}$, autrement dit que les droites $(MA)$ et $(MB)$ sont perpendiculaires : $M$ voit le segment $[AB]$ sous un angle droit. L'ensemble cherché est donc le cercle de diamètre $[AB]$, privé des points $A$ et $B$. Son centre est le milieu de $[AB]$, d'affixe $\frac{1+\mathrm{i}}{2}$, et son rayon vaut $\frac{AB}{2}=\frac{|\mathrm{i}-1|}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Contrôle par le calcul. Posons $z=x+\mathrm{i}y$. Un complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle ; multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$$Z=\frac{(x-1+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}(y-1))}{x^2+(y-1{)}^2}$$

Le numérateur vaut :

$$x(x-1)+y(y-1)+\mathrm{i}(xy-(x-1)(y-1))$$

La condition $\mathrm{Re}(Z)=0$ s'écrit donc $x^2-x+y^2-y=0$, soit, en complétant les carrés :

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$$

On retrouve le cercle de centre $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ et de rayon $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, dont il faut ôter $A(1,0)$ et $B(0,1)$ — deux points qui appartiennent bien à ce cercle.