mathématiques expertes (terminale) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Petit théorème de Fermat

Arithmétique · niveau 1 (application)

Énoncé

Petit théorème de Fermat.

Montrer que pour tout entier $a$ , $a^{7} \equiv a (mod 7)$ , puis que $7$ divise $a^{7} - a$ pour tout $a \in Z$ . En déduire que $2^{100} + 3^{100}$ n'est pas divisible par $7$ .

Corrigé

La version générale du petit théorème de Fermat avec $p = 7$ donne directement $a^{7} \equiv a (mod 7)$ , c'est-à-dire $7 ∣ a^{7} - a$ . Pour la seconde partie : $2$ et $3$ ne sont pas divisibles par $7$ , donc $2^{6} \equiv 1$ et $3^{6} \equiv 1 (mod 7)$ . Comme $100 = 6 \times 16 + 4$ :

$2^{100} \equiv 2^{4} = 16 \equiv 2 (mod 7) et 3^{100} \equiv 3^{4} = 81 \equiv 4 (mod 7)$

D'où $2^{100} + 3^{100} \equiv 6 (mod 7)$ : ce nombre n'est pas divisible par $7$ .

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