Problème — Chiffrement affine — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 3)

Problème — Chiffrement affine

Arithmétique · niveau 2

Énoncé

Problème — Chiffrement affine.

On code les lettres de l'alphabet par les entiers de $0$ (A) à $25$ (Z). Le chiffrement affine de clé $(a, b) = (5, 8)$ transforme la lettre de code $x$ en la lettre de code :

$y \equiv 5 x + 8 (mod 26)$

Chiffrer la lettre M (code 12).
Justifier que ce chiffrement est « inversible », c'est-à-dire que deux lettres distinctes sont toujours chiffrées différemment.
Établir la formule de déchiffrement et déchiffrer la lettre V (code 21).

Corrigé

Pour $x = 12$ : $y \equiv 5 \times 12 + 8 = 68 \equiv 68 - 2 \times 26 = 16 (mod 26)$ . La lettre M est chiffrée en Q (code 16).
Supposons $5 x + 8 \equiv 5 x^{'} + 8 (mod 26)$ ; alors $5 (x - x^{'}) \equiv 0 (mod 26)$ , donc $26 ∣ 5 (x - x^{'})$ . Comme $pgcd (26, 5) = 1$ , le théorème de Gauss donne $26 ∣ x - x^{'}$ , et comme $x, x^{'} \in [[0, 25]]$ , on conclut $x = x^{'}$ . Deux lettres distinctes ont des chiffrés distincts.
L'inverse de $5$ modulo $26$ est $21$ (inverse modulaire calculé plus haut : $5 \times 21 = 105 = 4 \times 26 + 1$ ). De $y \equiv 5 x + 8$ :

$x \equiv 21 (y - 8) \equiv 21 y - 168 \equiv 21 y - 168 + 7 \times 26 \equiv 21 y + 14 (mod 26)$

Pour $y = 21$ : $x \equiv 21 \times 21 + 14 = 455 \equiv 455 - 17 \times 26 = 13 (mod 26)$ . La lettre V se déchiffre en N (code 13).