Problème — Équation diophantienne complète

Arithmétique · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Équation diophantienne complète.

On cherche tous les couples $(x, y) \in Z^{2}$ tels que :

$(E) : 7 x - 5 y = 1$

Justifier que l'équation $(E)$ admet des solutions.
Déterminer une solution particulière.
Résoudre complètement l'équation $(E)$ .

Corrigé

$pgcd (7, 5) = 1$ et $1 ∣ 1$ : d'après le théorème de Bézout, l'équation admet des solutions entières.
On cherche à tâtons ou par Euclide : $7 \times 3 - 5 \times 4 = 21 - 20 = 1$ . Le couple $(x_{0}, y_{0}) = (3, 4)$ est une solution particulière.
Soit $(x, y)$ une solution. En soustrayant $7 x_{0} - 5 y_{0} = 1$ :

$7 (x - 3) - 5 (y - 4) = 0 ⟺ 7 (x - 3) = 5 (y - 4)$

Ainsi $5 ∣ 7 (x - 3)$ ; comme $pgcd (5, 7) = 1$ , le théorème de Gauss donne $5 ∣ x - 3$ , c'est-à-dire $x = 3 + 5 k$ ( $k \in Z$ ). En reportant : $7 \times 5 k = 5 (y - 4)$ , d'où $y = 4 + 7 k$ . Réciproquement, tout couple de cette forme vérifie $(E)$ : $7 (3 + 5 k) - 5 (4 + 7 k) = 21 + 35 k - 20 - 35 k = 1$ .

$S = {(3 + 5 k, 4 + 7 k); k \in Z}$